(1) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (2) $A \cap B$ (3) $A$

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1. 問題の内容

問題は3つあります。

1. **集合の問題:** 全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ があります。$n(U) = 50$, $n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap \overline{B}) = 3$, $n(\overline{A} \cap B) = 15$ のとき、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(2) $A \cap B$

(3) $A$

2. **整数の問題:** 500 以上 1000 以下の整数のうち、次の数は何個あるか。

(1) 11 の倍数でない整数

(2) 11 の倍数であるが 3 の倍数でない整数

3. **整数の問題:** 1 から 100 までの整数のうち、次の数は何個あるか。

(1) 2, 3, 7 の少なくとも 1 つで割り切れる数

(2) 2 では割り切れるが、3 でも 7 でも割り切れない数

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2. 解き方の手順

### 問題1

(1) $\overline{A} \cap \overline{B}$ の要素の個数:

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ なので、

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 50 - 42 = 8$

(2) $A \cap B$ の要素の個数:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ の関係と、

$n(A) = n(A \cap \overline{B}) + n(A \cap B)$ および $n(B) = n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap B)$ の関係を使います。

$n(A \cup B) = n(A \cap \overline{B}) + n(A \cap B) + n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = n(A \cap \overline{B}) + n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap B)$

したがって、

$42 = 3 + 15 + n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 42 - 3 - 15 = 24$

(3) $A$ の要素の個数:

$n(A) = n(A \cap \overline{B}) + n(A \cap B) = 3 + 24 = 27$

### 問題2

(1) 500 以上 1000 以下の整数のうち、11 の倍数でない整数:

500 以上 1000 以下の整数の個数は $1000 - 500 + 1 = 501$ 個です。

500 以上 1000 以下の 11 の倍数の個数は、$\lfloor \frac{1000}{11} \rfloor - \lfloor \frac{499}{11} \rfloor = 90 - 45 = 45$ 個です。

したがって、11 の倍数でない整数の個数は $501 - 45 = 456$ 個です。

(2) 500 以上 1000 以下の整数のうち、11 の倍数であるが 3 の倍数でない整数:

11 の倍数であり、かつ 3 の倍数である数は、33 の倍数です。

500 以上 1000 以下の 33 の倍数の個数は、$\lfloor \frac{1000}{33} \rfloor - \lfloor \frac{499}{33} \rfloor = 30 - 15 = 15$ 個です。

したがって、11 の倍数であるが 3 の倍数でない整数の個数は $45 - 15 = 30$ 個です。

### 問題3

(1) 1 から 100 までの整数のうち、2, 3, 7 の少なくとも 1 つで割り切れる数:

2 で割り切れる数: $\lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

3 で割り切れる数: $\lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

7 で割り切れる数: $\lfloor \frac{100}{7} \rfloor = 14$

2 かつ 3 で割り切れる数 (6 の倍数): $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

2 かつ 7 で割り切れる数 (14 の倍数): $\lfloor \frac{100}{14} \rfloor = 7$

3 かつ 7 で割り切れる数 (21 の倍数): $\lfloor \frac{100}{21} \rfloor = 4$

2 かつ 3 かつ 7 で割り切れる数 (42 の倍数): $\lfloor \frac{100}{42} \rfloor = 2$

包除原理により、

$50 + 33 + 14 - 16 - 7 - 4 + 2 = 72$

(2) 1 から 100 までの整数のうち、2 では割り切れるが、3 でも 7 でも割り切れない数:

2 で割り切れる数: 50 個

2 かつ 3 で割り切れる数 (6 の倍数): 16 個

2 かつ 7 で割り切れる数 (14 の倍数): 7 個

2 かつ 3 かつ 7 で割り切れる数 (42 の倍数): 2 個

2 で割り切れる数から、6 の倍数と 14 の倍数を引きます。ただし、42 の倍数は二重で引いてしまうので足し戻します。

$50 - 16 - 7 + 2 = 29$

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3. 最終的な答え

### 問題1

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 8$

(2) $n(A \cap B) = 24$

(3) $n(A) = 27$

### 問題2

(1) 456 個

(2) 30 個

### 問題3

(1) 72 個

(2) 29 個