自然数 $k$ に対して、$(2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2$、$(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1$ と定義する。このとき、$(2m)!! - (2m-1)!! = 2^n (2^n - 8)$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $k$ に対して、$(2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2$、$(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1$ と定義する。このとき、$(2m)!! - (2m-1)!! = 2^n (2^n - 8)$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理する。

$(2m)!! - (2m-1)!! = 2^m(2^n - 8)$

$m=1$ のとき:

$(2\cdot 1)!! - (2\cdot 1 - 1)!! = 2!! - 1!! = 2 - 1 = 1$

$2^n(2^n - 8) = 1$ を満たす自然数 $n$ は存在しない。

$m=2$ のとき:

$(2\cdot 2)!! - (2\cdot 2 - 1)!! = 4!! - 3!! = 4 \times 2 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 5$

$2^n(2^n - 8) = 5$ を満たす自然数 $n$ は存在しない。

$m=3$ のとき:

$(2\cdot 3)!! - (2\cdot 3 - 1)!! = 6!! - 5!! = 6 \times 4 \times 2 - 5 \times 3 \times 1 = 48 - 15 = 33$

$2^n(2^n - 8) = 33$ を満たす自然数 $n$ は存在しない。

$m=4$ のとき:

$(2\cdot 4)!! - (2\cdot 4 - 1)!! = 8!! - 7!! = 8 \times 6 \times 4 \times 2 - 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 384 - 105 = 279$

$2^n(2^n - 8) = 279$ を満たす自然数 $n$ は存在しない。

$m=5$ のとき:

$(2\cdot 5)!! - (2\cdot 5 - 1)!! = 10!! - 9!! = 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2 - 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 3840 - 945 = 2895$

$2^n(2^n - 8) = 2895$ を満たす自然数 $n$ は存在しない。

一般的に、

$(2m)!! = 2^m m!$

したがって、

$2^m m! - (2m-1)!! = 2^n(2^n - 8)$

$2^n - 8 > 0$ であるためには、$n > 3$ でなければならない。

$2^n (2^n - 8) = 2^n (2^n - 2^3) = 2^n \cdot 2^3 (2^{n-3} - 1) = 2^{n+3}(2^{n-3} - 1)$

よって、

$2^m m! - (2m-1)!! = 2^{n+3}(2^{n-3} - 1)$

$m=4, n=5$ を代入すると

$2^4 \cdot 4! - (2\cdot 4 - 1)!! = 16 \times 24 - 7!! = 384 - 105 = 279$

$2^{5+3} (2^{5-3} - 1) = 2^8 (2^2 - 1) = 256 \cdot 3 = 768$

$m=5, n=6$ を代入すると

$2^5 5! - (2\cdot 5 - 1)!! = 32 \times 120 - 9!! = 3840 - 945 = 2895$

$2^{6+3} (2^{6-3} - 1) = 2^9 (2^3 - 1) = 512 \times 7 = 3584$

$m=6, n=6$ を代入すると

$2^m = 2^6 = 64$

$(2\cdot 6)!! = 12!! = 12\times 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 46080$

$(2\cdot 6-1)!! = 11!! = 11 \times 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 10395$

$46080 - 10395 = 35685$

$2^{n+3} (2^{n-3} - 1) = 2^{6+3} (2^{6-3} - 1) = 2^9(2^3 - 1) = 512(8-1) = 512 \times 7 = 3584$

$m=4, n=4$のとき、

$(2m)!! - (2m-1)!! = 8!! - 7!! = 384 - 105 = 279$

$2^n(2^n - 8) = 2^4(2^4 - 8) = 16(16-8) = 16\times 8 = 128$

$m=6, n=7$とすると

$2^7(2^7-8) = 128(128-8) = 128\cdot 120 = 15360$

$(2m)!!-(2m-1)!!=(12)!!-(11)!! = 46080 - 10395 = 35685$

$n=3$ のとき、 $2^n(2^n-8) = 2^3(2^3-8) = 8(8-8) = 0$

$(2m)!! - (2m-1)!! = 0$

$(2m)!! = (2m-1)!!$

$m=0$ のとき、 $(2m)!! - (2m-1)!!=1-1=0$なので、$n=3$. しかし、$m$は自然数なのでこれは成り立たない。

$n=4$のとき、$2^4(2^4-8) = 16(16-8)=16\cdot 8 = 128$。

$m=4$のとき、 $(2m)!! - (2m-1)!! = (8)!!-(7)!! = (8\times 6\times 4 \times 2) - (7\times 5 \times 3 \times 1) = 384 - 105=279$

これは成り立たない。

$m=4, n=5$: $2^{n+3}(2^{n-3}-1)=2^{8}(2^{2}-1) = 256(3)=768$.

$(2\times 4)!!-(2\times 4 -1)!!=(8)!!-(7)!! = (8\times 6\times 4 \times 2) - (7\times 5 \times 3 \times 1) = 384 - 105=279$

$768 \neq 279$

$m=3, n=5$: $2^5(2^5-8) = 32(32-8)=32(24) = 768$.

$(6)!! - (5)!!=(6\times 4\times 2)-(5\times 3\times 1) = 48-15=33$

$33 \neq 768$

$n=5$, $m=5$のとき

$3840-945=2895$

$2^{5}(2^{5}-8)=32(32-8)=32*24 = 768$

$m=3$のとき$2^n(2^n -8)=2^3\times 3 =32$を満たす$n$は存在しない.

$m=4$のとき, $(2m)!! - (2m-1)!! = 384 - 105=279=2^{n}(2^{n} -8)$を満たす整数$n$は存在しない

$n=4$ のとき, $2^4(2^4-8)=2^4(16-8) = 16\cdot 8=128$,

$(2m)!!-(2m-1)!!=128$　となる$m$は存在しない.

$n=5$ のとき, $2^5(2^5-8) = 32\cdot 24 = 768$,

$m=4$ のとき, $384 - 105=279 \neq 768$

最終的に、$m=4, n=6$ を試す

$2^6(2^6-8) = 64(64-8) = 64(56) = 3584$

$(2 \cdot 4)!! - (2 \cdot 4 - 1)!! = 8!! - 7!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 - 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 384 - 105 = 279 \neq 3584$

$m=5, n=6$ を試す

$2^6(2^6-8) = 64(64-8) = 64(56) = 3584$

$(2 \cdot 5)!! - (2 \cdot 5 - 1)!! = 10!! - 9!! = 10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 - 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 3840 - 945 = 2895 \neq 3584$

$(m, n) = (4, 6)$ を代入すると

$(2m)!! - (2m-1)!! = (8)!! - (7)!! = 384 - 105 = 279$

$2^n(2^n-8) = 2^6(2^6-8) = 64(64-8) = 64 \times 56 = 3584$

$(4,6)$は解ではない。

3. 最終的な答え

解なし