数列 $\{a_n\}$ が与えられています。 (1) $\frac{3^2}{41}$ が数列の第何項か求める。 (2) $a_{50}$ を求める。 (3) $\sum_{k=1}^{50} a_k$ を求める。 数列は、 $\frac{1^2}{3}, \frac{1^2}{5}, \frac{2^2}{5}, \frac{1^2}{7}, \frac{2^2}{7}, \frac{3^2}{7}, \frac{1^2}{9}, \frac{2^2}{9}, \frac{3^2}{9}, \frac{4^2}{9}, \frac{1^2}{11}, ...$ という数列です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられています。

(1) $\frac{3^2}{41}$ が数列の第何項か求める。

(2) $a_{50}$ を求める。

(3) $\sum_{k=1}^{50} a_k$ を求める。

数列は、

$\frac{1^2}{3}, \frac{1^2}{5}, \frac{2^2}{5}, \frac{1^2}{7}, \frac{2^2}{7}, \frac{3^2}{7}, \frac{1^2}{9}, \frac{2^2}{9}, \frac{3^2}{9}, \frac{4^2}{9}, \frac{1^2}{11}, ...$

という数列です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた数列の規則性を見つけます。分母は奇数で、2ずつ増えています。分子は、分母が同じ項ごとに $1^2, 2^2, 3^2, ...$ と増えています。

$\frac{3^2}{41}$ の分母は 41 です。分母が $2n+1$ である項の数は $n$ 個あります。

分母が 3 のとき 1 項、5 のとき 2 項、7 のとき 3 項、…、41 のとき 20 項あります。

したがって、$\frac{3^2}{41}$ は、分母が 41 である項の 3 番目の項です。

数列の先頭から $\frac{3^2}{41}$ までの項の数は、

$1 + 2 + 3 + ... + 19 + 3 = \frac{19(19+1)}{2} + 3 = \frac{19 \cdot 20}{2} + 3 = 190 + 3 = 193$

よって、$\frac{3^2}{41}$ は第 193 項です。

$\frac{3^2}{41} = a_{193}$

(2) $a_{50}$ を求めます。

第 $n$ グループの項数は $n$ です。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\frac{n(n+1)}{2} < 50$ を満たす最大の整数 $n$ を探します。

$n(n+1) < 100$

$n=9$ のとき、 $9(10) = 90 < 100$

$n=10$ のとき、$10(11) = 110 > 100$

よって、第 9 グループまでで $\frac{9(10)}{2} = 45$ 項あります。

$a_{50}$ は第 10 グループの $50-45 = 5$ 番目の項です。

第 10 グループの分母は $2(10)+1 = 21$ です。分子は $5^2 = 25$ です。

よって、$a_{50} = \frac{5^2}{21} = \frac{25}{21}$

(3) $\sum_{k=1}^{50} a_k$ を求めます。

第 $n$ グループの分母は $2n+1$ で、分子は $1^2, 2^2, ..., n^2$ です。

第 $n$ グループの和は、

$\frac{1^2 + 2^2 + ... + n^2}{2n+1} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2n+1} = \frac{n(n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{50} a_k = \sum_{n=1}^{9} \frac{n(n+1)}{6} + a_{46} + a_{47} + a_{48} + a_{49} + a_{50}$

$= \sum_{n=1}^{9} \frac{n(n+1)}{6} + \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2}{21} = \sum_{n=1}^{9} \frac{n^2+n}{6} + \frac{1+4+9+16+25}{21}$

$\sum_{n=1}^{9} \frac{n^2+n}{6} = \frac{1}{6}(\sum_{n=1}^{9} n^2 + \sum_{n=1}^{9} n)$

$= \frac{1}{6}(\frac{9(9+1)(2(9)+1)}{6} + \frac{9(9+1)}{2}) = \frac{1}{6}(\frac{9(10)(19)}{6} + \frac{9(10)}{2})$

$= \frac{1}{6}(\frac{1710}{6} + 45) = \frac{1}{6}(285 + 45) = \frac{330}{6} = 55$

$\frac{1+4+9+16+25}{21} = \frac{55}{21}$

$\sum_{k=1}^{50} a_k = 55 + \frac{55}{21} = \frac{55(21)+55}{21} = \frac{55(22)}{21} = \frac{1210}{21}$

3. 最終的な答え

(1) 193

(2) $\frac{25}{21}$

(3) $\frac{1210}{21}$