$n$ は整数であるとする。$n^2$ が $3$ の倍数ならば、$n$ は $3$ の倍数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$n$ は整数であるとする。$n^2$ が $3$ の倍数ならば、$n$ は $3$ の倍数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、対偶を利用します。元の命題「$n^2$ が $3$ の倍数ならば、$n$ は $3$ の倍数である」の対偶は「$n$ が $3$ の倍数でないならば、$n^2$ は $3$ の倍数でない」となります。この対偶を証明します。

$n$ が $3$ の倍数でないとき、$n$ は $3k+1$ または $3k+2$ ($k$ は整数) の形で表すことができます。

(1) $n = 3k + 1$ のとき

$n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$

$3k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は $3$ で割ると $1$ 余る数であり、$3$ の倍数ではありません。

(2) $n = 3k + 2$ のとき

$n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$

$3k^2 + 4k + 1$ は整数なので、$n^2$ は $3$ で割ると $1$ 余る数であり、$3$ の倍数ではありません。

したがって、$n$ が $3$ の倍数でないならば、$n^2$ は $3$ の倍数ではありません。これは対偶が真であることを示しています。対偶が真であるとき、元の命題も真であるため、$n^2$ が $3$ の倍数ならば、$n$ は $3$ の倍数であることが証明されました。

3. 最終的な答え

$n^2$ が $3$ の倍数ならば、$n$ は $3$ の倍数である。 (証明終わり)