自然数 $k$ に対して、二重階乗 $(2k)!!$ と $(2k-1)!!$ が、 $(2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2$ $(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1$ と定義される。このとき、等式 $m!! - 2^n = 7$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $k$ に対して、二重階乗 $(2k)!!$ と $(2k-1)!!$ が、

$(2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2$

$(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1$

と定義される。このとき、等式 $m!! - 2^n = 7$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式は $m!! - 2^n = 7$ である。これを $m!! = 2^n + 7$ と変形する。

まず、$m$ が偶数の場合を考える。$m = 2k$ とおくと、

$m!! = (2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 = 2^n + 7$

$(2k)!!$ は偶数の積であるから、偶数となる。

ここで、$n$ が小さい場合から順に調べる。

$n = 1$ のとき $2^1 + 7 = 9$ となり、偶数ではない。

$n = 2$ のとき $2^2 + 7 = 11$ となり、偶数ではない。

$n = 3$ のとき $2^3 + 7 = 15$ となり、偶数ではない。

$n = 4$ のとき $2^4 + 7 = 23$ となり、偶数ではない。

$n = 5$ のとき $2^5 + 7 = 39$ となり、偶数ではない。

$n = 6$ のとき $2^6 + 7 = 71$ となり、偶数ではない。

$n = 7$ のとき $2^7 + 7 = 135$ となり、偶数ではない。

$n = 8$ のとき $2^8 + 7 = 263$ となり、偶数ではない。

$m = 2$ のとき、$2!! = 2$ なので、$2 = 2^n + 7$ となり、$2^n = -5$ となるので、これは不適。

$m = 4$ のとき、$4!! = 4 \times 2 = 8$ なので、$8 = 2^n + 7$ となり、$2^n = 1$ となるので、$n = 0$。しかし、$n$ は自然数なのでこれは不適。

$m = 6$ のとき、$6!! = 6 \times 4 \times 2 = 48$ なので、$48 = 2^n + 7$ となり、$2^n = 41$ となるが、これは $2$ のべき乗ではないので不適。

$m \geq 8$ のとき $(2k)!!$ は $8$ の倍数なので、$2^n + 7$ は $8$ の倍数である。しかし、$7$ を法 $8$ で考えると $2^n+7 \equiv 0 \pmod{8}$ なので $2^n \equiv 1 \pmod{8}$ が必要であり、$n \geq 3$ ならば $2^n$ は $8$ の倍数なので、$2^n+7 \equiv 7 \pmod{8}$ であるため不適。$n=1,2$は確認済みで、解なしとなる。

次に、$m$ が奇数の場合を考える。$m = 2k-1$ とおくと、

$m!! = (2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1 = 2^n + 7$

$m = 1$ のとき、$1!! = 1$ なので、$1 = 2^n + 7$ となり、$2^n = -6$ となるので、これは不適。

$m = 3$ のとき、$3!! = 3 \times 1 = 3$ なので、$3 = 2^n + 7$ となり、$2^n = -4$ となるので、これは不適。

$m = 5$ のとき、$5!! = 5 \times 3 \times 1 = 15$ なので、$15 = 2^n + 7$ となり、$2^n = 8$ となるので、$n = 3$。これは適する。

$m = 7$ のとき、$7!! = 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 105$ なので、$105 = 2^n + 7$ となり、$2^n = 98$ となるが、これは $2$ のべき乗ではないので不適。

$m = 9$ のとき、$9!! = 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 945$ なので、$945 = 2^n + 7$ となり、$2^n = 938$ となるが、これは $2$ のべき乗ではないので不適。

$m!! = 2^n + 7$

$m=5$ のとき $5!! = 15 = 2^3 + 7$ より $n=3$

したがって、$(m, n) = (5, 3)$ が解である。

3. 最終的な答え

$(m, n) = (5, 3)$