2から12までの数字が書かれた11枚のカードから3枚を同時に取り出す。取り出した3枚のカードに書かれた3つの数字について、以下の問いに答える。 (1) 3つの数字の最大公約数を $x$ とするとき、起こりうる $x$ の値を全て求める。 (2) 3つの数字の最大公約数が4である確率を求める。 (3) 3つの数字の最小公倍数が12である確率を求める。 (4) 3つの数字の最小公倍数と3つの数字の最大値が等しい確率を求める。 (5) 3つの数字の最大公約数が2であるとき、3つの数字の最小値が2でない確率を求める。

1. 問題の内容

2から12までの数字が書かれた11枚のカードから3枚を同時に取り出す。取り出した3枚のカードに書かれた3つの数字について、以下の問いに答える。

(1) 3つの数字の最大公約数を $x$ とするとき、起こりうる $x$ の値を全て求める。

(2) 3つの数字の最大公約数が4である確率を求める。

(3) 3つの数字の最小公倍数が12である確率を求める。

(4) 3つの数字の最小公倍数と3つの数字の最大値が等しい確率を求める。

(5) 3つの数字の最大公約数が2であるとき、3つの数字の最小値が2でない確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3つの数字の最大公約数としてあり得る値を考える。

3つの数字は2から12の範囲であるから、最大公約数は12以下である。

最大公約数となりうるのは、3つの数字全てを割り切ることのできる数である。

最小の数は2なので、最大公約数は1である。

3つの数字が全て素数である場合、最大公約数は1となる。例えば、2, 3, 5など。

最大の最大公約数は、全ての数字が同じ場合。例えば、4, 4, 4。この場合は4が最大公約数となる。または8,8,8のとき最大公約数は8になる。

よって、考えられる最大公約数は1, 2, 3, 4となる。例えば、6,9,12の最大公約数は3である。例えば、4,8,12の最大公約数は4である。

(2) 3つの数字の最大公約数が4となる場合を考える。

3つの数字は全て4の倍数でなければならない。4, 8, 12の3つから3つを選ぶしかないので、選び方は1通り。

3枚のカードの選び方は全部で ${}_{11}C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ 通り。

したがって、確率は$\frac{1}{165}$となる。

(3) 3つの数字の最小公倍数が12となる場合を考える。

3つの数字は全て12の約数でなければならない。12の約数は1, 2, 3, 4, 6, 12。

最小公倍数が12となるには、少なくとも1つは12が含まれていなければならない。

12を含む場合: (12, 1, x), (12, 2, x), (12, 3, x), (12, 4, x), (12, 6, x)のパターンがある。

12が含まれていなければ、4, 6の組み合わせしか無い。

最小公倍数が12となる組み合わせは、(3, 4, x), (3, 6, x), (4, 6, x)。

(12, 1, 2), (12, 2, 3), (12, 3, 4), (12, 4, 6), (12, 2, 6), (12, 3, 6), (12, 4, 12)

{12, 1, 2}の組み合わせはない

(3,4,x)について、x=1,2,3,4,6,8,9,12。x=1は無い。(3,4,6), (3,4,8), (3,4,9), (3,4,12)

(3,6,x)について、x=1,2,3,4,6,8,9,12。 (3,6,4), (3,6,8), (3,6,9), (3,6,12)

(4,6,x)について、x=1,2,3,4,6,8,9,12。 (4,6,3), (4,6,8), (4,6,9), (4,6,12)

(12, x, y) -> x, yは12の約数。 -> 1,2,3,4,6,12

(12, x, y) = (12, 2, 3), (12, 3, 4), (12, 4, 6)

{3,4,6} => 1

{3,4,8} => 1

{3,4,9} => 1

{3,4,12} => 1

{3,6,4}重複

{3,6,8} => 1

{3,6,9} => 1

{3,6,12} => 1

{4,6,8} => 0

{4,6,9} => 0

{4,6,12} => 1

1+1+1+1+0+1+1+1+0+0+1 = 8

12がある場合：(12,1,2), (12,2,3), (12,3,4), (12,4,6), (12,1,3),(12,1,4),(12,1,6)

12がなければ、3,4,6の組み合わせ

(4) 3つの数字の最小公倍数と3つの数字の最大値が等しい確率を求める。

最小公倍数と最大値が等しい場合、他の2つの数字はその最大値の約数である必要がある。

例えば、(2, 4, 8)は最小公倍数8、最大値8。

例えば、(3, 6, 12)は最小公倍数12、最大値12。

最小公倍数 = 最大値 = xとすると、他の2つの数字はxの約数である。

最大値が2のとき、(2, 1, 1), 1はない。(2, 2, 2)しかない。

最大値が3のとき、(3, 1, 1), (3, 3, 3)。 1はない。(3, 3, 3)しかない。

最大値が4のとき、(4, 1, 1), (4, 2, 2), (4, 4, 4), (4, 1, 2). (4, 2, 4)(4,1,4)

(4, 2, 4)は重複.1はない。(4, 2, 4), (4, 4, 4).

最大値がkのとき、kの約数で構成される組み合わせを数える。

(5) 3つの数字の最大公約数が2であるとき、3つの数字の最小値が2でない確率を求める。

3. 最終的な答え

(1) 1, 2, 3, 4