$2^{50}$ を 7 で割ったときの余りを、合同式を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

$2^{50}$ を 7 で割ったときの余りを、合同式を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

合同式を用いて余りを求めます。

まず、$2^3$ を 7 で割った余りを計算します。

$2^3 = 8$ であり、$8 \equiv 1 \pmod{7}$ です。

次に、$2^{50}$ を $2^3$ のべき乗で表します。

$50 = 3 \times 16 + 2$ であるから、

$2^{50} = (2^3)^{16} \times 2^2$ となります。

合同式の性質より、

$2^{50} \equiv (2^3)^{16} \times 2^2 \pmod{7}$

$2^{50} \equiv (1)^{16} \times 2^2 \pmod{7}$

$2^{50} \equiv 1 \times 4 \pmod{7}$

$2^{50} \equiv 4 \pmod{7}$

したがって、$2^{50}$ を 7 で割った余りは 4 です。

3. 最終的な答え

4