自然数 $n$ が7で割ると2余り、9で割ると7余るとき、$n$ を63で割った余りを求める問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ が7で割ると2余り、9で割ると7余るとき、$n$ を63で割った余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n$ が7で割ると2余り、9で割ると7余るという条件を式で表します。

$n = 7k + 2$ (kは整数)

$n = 9l + 7$ (lは整数)

これらの式から、$7k + 2 = 9l + 7$ となります。

これを変形すると、$7k = 9l + 5$ となります。

さらに変形して、$7k - 9l = 5$ を満たす整数 $k, l$ を求めます。

まず、$7k - 9l = 1$ となる整数 $k, l$ を求めます。

$7 \times 4 - 9 \times 3 = 28 - 27 = 1$ より、$k=4, l=3$ が解の一つです。

次に、$7k - 9l = 5$ となる整数 $k, l$ を求めます。

$7 \times (4 \times 5) - 9 \times (3 \times 5) = 5$ より、$k = 20, l = 15$ が解の一つです。

よって、$7 \times 20 - 9 \times 15 = 140 - 135 = 5$

一般解は、$7(20+9t) - 9(15+7t) = 5$ ($t$ は整数)

$k = 20 + 9t, l = 15 + 7t$

これを $n = 7k + 2$ に代入すると、

$n = 7(20 + 9t) + 2 = 140 + 63t + 2 = 63t + 142$

$n = 63t + 142 = 63t + 63 \times 2 + 16 = 63(t+2) + 16$

したがって、$n$ を63で割った余りは16です。

3. 最終的な答え

16