$3n+16$ と $4n+18$ の最大公約数が5となるような、50以下の自然数 $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$3n+16$ と $4n+18$ の最大公約数が5となるような、50以下の自然数 $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ユークリッドの互除法を用いて、$3n+16$ と $4n+18$ の最大公約数を $n$ の式で表します。

\begin{align*}

4n+18 &= 1(3n+16) + (n+2) \\

3n+16 &= 3(n+2) + 10

\end{align*}

したがって、$3n+16$ と $4n+18$ の最大公約数は、$n+2$ と $10$ の最大公約数と等しくなります。

問題文より、$3n+16$ と $4n+18$ の最大公約数は5なので、$n+2$ と $10$ の最大公約数は5となります。

$10 = 2 \times 5$ なので、$n+2$ は5の倍数で、2の倍数であってはいけません。

したがって、$n+2 = 5k$ ( $k$ は奇数) と表せます。

$n = 5k - 2$ であり、$n$ は50以下の自然数なので、

$1 \le n \le 50$

$1 \le 5k-2 \le 50$

$3 \le 5k \le 52$

$\frac{3}{5} \le k \le \frac{52}{5} = 10.4$

$k$ は奇数なので、$k=1, 3, 5, 7, 9$

それぞれについて $n$ を計算します。

\begin{itemize}

\item $k=1$ のとき $n = 5(1) - 2 = 3$

\item $k=3$ のとき $n = 5(3) - 2 = 13$

\item $k=5$ のとき $n = 5(5) - 2 = 23$

\item $k=7$ のとき $n = 5(7) - 2 = 33$

\item $k=9$ のとき $n = 5(9) - 2 = 43$

\end{itemize}

これらの $n$ に対して、$3n+16$ と $4n+18$ の最大公約数が本当に5になっているか確認します。

\begin{itemize}

\item $n=3$ のとき、$3n+16 = 25$, $4n+18 = 30$. 最大公約数は5。

\item $n=13$ のとき、$3n+16 = 55$, $4n+18 = 70$. 最大公約数は5。

\item $n=23$ のとき、$3n+16 = 85$, $4n+18 = 110$. 最大公約数は5。

\item $n=33$ のとき、$3n+16 = 115$, $4n+18 = 150$. 最大公約数は5。

\item $n=43$ のとき、$3n+16 = 145$, $4n+18 = 190$. 最大公約数は5。

\end{itemize}

3. 最終的な答え

$n = 3, 13, 23, 33, 43$