与えられた選択肢の中から、正しいものをすべて選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。 (1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。 (2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。 (3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。 (4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しいものをすべて選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

2. 解き方の手順

各選択肢について、具体例を挙げて検討します。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

例えば、$\sqrt{2}$ は無理数ですが、$\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ は有理数です。したがって、この選択肢は誤りです。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

有理数は分数 $\frac{p}{q}$ (p, qは整数, q ≠ 0) で表せる数です。有理数 $\frac{p_1}{q_1}$ と $\frac{p_2}{q_2}$ の差は、

$\frac{p_1}{q_1} - \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2 - p_2q_1}{q_1q_2}$

$p_1q_2 - p_2q_1$ と $q_1q_2$ は整数なので、この差も有理数です。したがって、この選択肢は正しいです。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

例えば、$\sqrt{2}$ は無理数ですが、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ は有理数です。したがって、この選択肢は誤りです。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

有理数をa、無理数をbとします。ただし、$a \ne 0$。もし$\frac{a}{b}$が有理数cだと仮定すると、$b = \frac{a}{c}$となり、bも有理数となり矛盾します。したがって、$\frac{a}{b}$は無理数です。また$\frac{b}{a}$が有理数cだと仮定すると、$b=ac$となりbも有理数となり矛盾します。したがって、$\frac{b}{a}$は無理数です。

3. 最終的な答え

2, 4