自然数 $n \geq 2$ が素数であるか、または素数の積であることを、累積帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

自然数 $n \geq 2$ が素数であるか、または素数の積であることを、累積帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

累積帰納法を用いて証明する。

(1) 基底の場合: $n = 2$ のとき、$2$ は素数なので、成り立つ。

(2) 帰納的仮定: ある自然数 $k \geq 2$ に対して、$2$ から $k$ までのすべての自然数 $n$ が、素数であるか、または素数の積であると仮定する。

(3) 帰納的ステップ: $k+1$ が素数であるか、または素数の積であることを示す。

* もし $k+1$ が素数ならば、証明は完了する。

* もし $k+1$ が素数でないならば、$k+1 = a \cdot b$ と書ける。ここで、$1 < a < k+1$ かつ $1 < b < k+1$ である。

$1 < a < k+1$ より、$a$ は $2$ から $k$ までのいずれかの自然数であるから、帰納的仮定より、$a$ は素数であるか、または素数の積である。同様に、$b$ は $2$ から $k$ までのいずれかの自然数であるから、帰納的仮定より、$b$ は素数であるか、または素数の積である。

したがって、$k+1 = a \cdot b$ は、素数または素数の積である数 $a$ と $b$ の積であるから、$k+1$ 自身も素数または素数の積である。

(1), (2), (3) より、累積帰納法により、$n \geq 2$ であるすべての自然数 $n$ に対して、$n$ は素数であるか、または素数の積であることが証明された。

3. 最終的な答え

自然数 $n \geq 2$ は、素数あるいは素数の積である。