自然数 $n$ があり、$n$ を $7$ で割ると $2$ 余り、$9$ で割ると $7$ 余る。このとき、$n$ を $63$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

自然数 $n$ があり、$n$ を $7$ で割ると $2$ 余り、$9$ で割ると $7$ 余る。このとき、$n$ を $63$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$n$ を $7$ で割ると $2$ 余るので、$n = 7k + 2$ （$k$ は整数）と表せる。

これを、$9$ で割ると $7$ 余るという条件に代入する。

$7k + 2$ を $9$ で割ると $7$ 余るので、$7k + 2 \equiv 7 \pmod{9}$ となる。

この合同式を解く。

$7k \equiv 5 \pmod{9}$

$7k \equiv 5 + 9 \times 3 \pmod{9}$

$7k \equiv 32 \pmod{9}$

$7k \equiv 5 \pmod{9}$

$7k \equiv 5+9+9+9 \pmod{9}$

$7k \equiv 32 \pmod{9}$

$7k \equiv 5 \pmod{9}$

$7k \equiv 5 + 18 \pmod{9}$

$7k \equiv 23 \pmod{9}$

$7k \equiv 5 \pmod{9}$

$7k \equiv 5+9(3) \pmod{9}$

$7k \equiv 32 \pmod{9}$

$7k \equiv 5 \pmod{9}$

$4(7k) \equiv 4(5) \pmod{9}$

$28k \equiv 20 \pmod{9}$

$k \equiv 2 \pmod{9}$

したがって、$k = 9l + 2$ （$l$ は整数）と表せる。

これを $n = 7k + 2$ に代入すると、

$n = 7(9l + 2) + 2 = 63l + 14 + 2 = 63l + 16$

したがって、$n$ を $63$ で割ったときの余りは $16$ である。

3. 最終的な答え

16