$n$ は5で割ると3余る正の整数、$m$ は5で割ると2余る正の整数である。このとき、$n^{11} + m^{11}$ を5で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

$n$ は5で割ると3余る正の整数、$m$ は5で割ると2余る正の整数である。このとき、$n^{11} + m^{11}$ を5で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$n$ は5で割ると3余るので、$n \equiv 3 \pmod{5}$ と表せる。

$m$ は5で割ると2余るので、$m \equiv 2 \pmod{5}$ と表せる。

$n^{11} \pmod{5}$ を計算する。

$n^{2} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$

$n^{4} \equiv 4^{2} \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$

$n^{8} \equiv 1^{2} \equiv 1 \pmod{5}$

$n^{11} = n^{8} \cdot n^{2} \cdot n \equiv 1 \cdot 4 \cdot 3 \equiv 12 \equiv 2 \pmod{5}$

$m^{11} \pmod{5}$ を計算する。

$m^{2} \equiv 2^{2} \equiv 4 \pmod{5}$

$m^{4} \equiv 4^{2} \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$

$m^{8} \equiv 1^{2} \equiv 1 \pmod{5}$

$m^{11} = m^{8} \cdot m^{2} \cdot m \equiv 1 \cdot 4 \cdot 2 \equiv 8 \equiv 3 \pmod{5}$

$n^{11} + m^{11} \equiv 2 + 3 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}$

3. 最終的な答え

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