$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、「$1 + \sqrt{2}$ は無理数である」という命題を背理法で証明する。証明の空欄（①～④）に適切な選択肢（I～IV）を正しい順番で入れる問題。

数論無理数背理法証明有理数

2025/5/21

1. 問題の内容

\sqrt{2}

が無理数であることを用いて、「

1 + \sqrt{2}

は無理数である」という命題を背理法で証明する。証明の空欄（①～④）に適切な選択肢（I～IV）を正しい順番で入れる問題。

2. 解き方の手順

1. まず、$1 + \sqrt{2}$ が無理数でないと仮定すると、$1 + \sqrt{2}$ は有理数である。（命題の否定）

2. 次に、その有理数を $r$ とすると、$1 + \sqrt{2} = r$ より、$r - 1 = \sqrt{2}$ という式を得る。（IV）

3. $r$ が有理数ならば、$r - 1$ も有理数であるから。（III）

4. $r - 1 = \sqrt{2}$ は、有理数である $r - 1$ が無理数である $\sqrt{2}$ に等しいことを意味し、これは矛盾する。（II）

5. よって、$1 + \sqrt{2}$ は無理数である。

したがって、空欄を埋める順番は IV → III → I → II である。

3. 最終的な答え

イ

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