次の重積分を計算する問題です。 $$ \iint_D \frac{1}{\sqrt{x}} dxdy $$ ここで、$D$は$\sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{y}{b}} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$で定義される領域です。

1. 問題の内容

次の重積分を計算する問題です。

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\iint_D \frac{1}{\sqrt{x}} dxdy

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ここで、$D$は$\sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{y}{b}} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$で定義される領域です。

2. 解き方の手順

まず、変数を変換します。

$u = \sqrt{\frac{x}{a}}$, $v = \sqrt{\frac{y}{b}}$とすると、

$x = au^2$, $y = bv^2$となります。

ヤコビアンは

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\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =

\begin{vmatrix}

\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\

\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

2au & 0 \\

0 & 2bv

\end{vmatrix}

= 4abu v

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したがって、$dxdy = 4abu v dudv$となります。

領域$D$は$u+v \leq 1, u \geq 0, v \geq 0$に変換されます。

積分は次のようになります。

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\iint_D \frac{1}{\sqrt{x}} dxdy = \int_0^1 \int_0^{1-u} \frac{1}{\sqrt{au^2}} (4abuv) dvdu = \int_0^1 \int_0^{1-u} \frac{1}{\sqrt{a}} \frac{1}{u} 4abuv dvdu

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= \int_0^1 \int_0^{1-u} \frac{4abu}{\sqrt{a}} v dvdu = 4b\sqrt{a} \int_0^1 u\left[ \frac{v^2}{2} \right]_0^{1-u}du = 4b\sqrt{a} \int_0^1 u\frac{(1-u)^2}{2} du

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= 2b\sqrt{a} \int_0^1 u(1-2u+u^2) du = 2b\sqrt{a} \int_0^1 (u - 2u^2 + u^3) du

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= 2b\sqrt{a} \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^4}{4} \right]_0^1 = 2b\sqrt{a} \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \right)

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= 2b\sqrt{a} \left( \frac{6 - 8 + 3}{12} \right) = 2b\sqrt{a} \left( \frac{1}{12} \right) = \frac{b\sqrt{a}}{6}

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3. 最終的な答え

$\frac{b\sqrt{a}}{6}$