$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^3 x dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^3 x dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

$\cos^3 x$ を積分するために、まず $\cos^3 x$ を書き換えます。

$\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x) \cos x$

よって、

$\int \cos^3 x dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x dx$

ここで、$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。

$\int (1 - u^2) du = u - \frac{u^3}{3} + C = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^3 x dx = \left[ \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 0 = 0$ なので、

$\left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^3}{3} \right) - \left( 0 - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\frac{2\sqrt{2}}{8}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{6\sqrt{2} - \sqrt{2}}{12} = \frac{5\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{2}}{12}$