次の無限等比級数の和を求めます。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{4})^{n-1}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} 5(\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}$ (3) $\sum_{n=1}^{\infty} 3(\frac{1}{\sqrt{3}})^{n-1}$

1. 問題の内容

次の無限等比級数の和を求めます。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{4})^{n-1}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} 5(\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} 3(\frac{1}{\sqrt{3}})^{n-1}$

2. 解き方の手順

無限等比級数の和の公式は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、 $|r| < 1$ のとき

$S = \frac{a}{1-r}$

で与えられます。

(1) 初項 $a = (-\frac{1}{4})^{1-1} = (-\frac{1}{4})^0 = 1$

公比 $r = -\frac{1}{4}$

$|r| = |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} < 1$ であるので、和は収束します。

$S = \frac{1}{1-(-\frac{1}{4})} = \frac{1}{1+\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$

(2) 初項 $a = 5(\frac{\sqrt{3}}{2})^{1-1} = 5(\frac{\sqrt{3}}{2})^0 = 5$

公比 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$|r| = |\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$ であるので、和は収束します。

$S = \frac{5}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{2-\sqrt{3}}$

分母を有理化すると、

$\frac{10(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{10(2+\sqrt{3})}{4-3} = 10(2+\sqrt{3}) = 20+10\sqrt{3}$

(3) 初項 $a = 3(\frac{1}{\sqrt{3}})^{1-1} = 3(\frac{1}{\sqrt{3}})^0 = 3$

公比 $r = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$|r| = |\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$ であるので、和は収束します。

$S = \frac{3}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$

分母を有理化すると、

$\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3(3+\sqrt{3})}{3-1} = \frac{3(3+\sqrt{3})}{2} = \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{5}$

(2) $20+10\sqrt{3}$

(3) $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$