関数 $y = \tan x$ を $n = 4$ としてマクローリンの定理を適用したときの式 $y = x + \frac{x^3}{ア} + \frac{\sin \theta x(イ + \sin^2 \theta x)}{ウ \cos^5 \theta x} x^4 \quad (0 < \theta < 1)$ における、ア、イ、ウに入る数字を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan x$ を $n = 4$ としてマクローリンの定理を適用したときの式

$y = x + \frac{x^3}{ア} + \frac{\sin \theta x(イ + \sin^2 \theta x)}{ウ \cos^5 \theta x} x^4 \quad (0 < \theta < 1)$

における、ア、イ、ウに入る数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリンの定理はテイラーの定理において $a=0$ とした場合の特別な形です。関数 $f(x)$ のマクローリン展開は

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n$

と表されます。ここで、$R_n$ は剰余項です。

今回は $f(x) = \tan x$、$n=4$ なので、4次までの微分を計算します。

* $f(x) = \tan x$

* $f'(x) = \sec^2 x$

* $f''(x) = 2\sec x (\sec x \tan x) = 2\sec^2 x \tan x$

* $f'''(x) = 2(2\sec^2 x \tan x \tan x + \sec^2 x \sec^2 x) = 4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x$

* $f^{(4)}(x) = 8\sec^2 x \tan x \tan^2 x + 4\sec^2 x (2\tan x \sec^2 x) + 8\sec^3 x \sec x \tan x = 8\sec^2 x \tan^3 x + 8\sec^4 x \tan x + 8\sec^4 x \tan x = 8\sec^2 x \tan^3 x + 16\sec^4 x \tan x$

それぞれの $x = 0$ における値を求めます。

* $f(0) = \tan 0 = 0$

* $f'(0) = \sec^2 0 = 1$

* $f''(0) = 2\sec^2 0 \tan 0 = 0$

* $f'''(0) = 4\sec^2 0 \tan^2 0 + 2\sec^4 0 = 0 + 2 = 2$

したがって、マクローリン展開は

$\tan x = x + \frac{2}{3!}x^3 + R_4 = x + \frac{1}{3}x^3 + R_4$

となります。

問題文と比較すると、ア = 3 となります。

剰余項 $R_4$ はラグランジュの剰余項とすると、

$R_4 = \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!}x^5$ $(0 < \theta < 1)$

と表されます。ただし今回は4次の項なので、

$R_3 = \frac{f^{(4)}(\theta x)}{4!}x^4$ $(0 < \theta < 1)$

$f^{(4)}(x) = 8\sec^2 x \tan^3 x + 16\sec^4 x \tan x$ なので、

$R_3 = \frac{8\sec^2 (\theta x) \tan^3 (\theta x) + 16\sec^4 (\theta x) \tan (\theta x)}{24}x^4$

$= \frac{\sec^2 (\theta x) \tan^3 (\theta x) + 2\sec^4 (\theta x) \tan (\theta x)}{3}x^4$

$= \frac{\tan(\theta x) \sec^2(\theta x) (\tan^2(\theta x) + 2\sec^2(\theta x))}{3}x^4$

$= \frac{\sin(\theta x)}{\cos(\theta x)} \frac{1}{\cos^2(\theta x)} (\frac{\sin^2(\theta x)}{\cos^2(\theta x)} + \frac{2}{\cos^2(\theta x)}) \frac{1}{3}x^4$

$= \frac{\sin(\theta x)(\sin^2(\theta x) + 2)}{\cos^5(\theta x)} \frac{1}{3}x^4$

$= \frac{\sin(\theta x)(2 + \sin^2(\theta x))}{3\cos^5(\theta x)}x^4$

問題文と比較すると、イ = 2, ウ = 3 となります。

3. 最終的な答え

ア = 3

イ = 2

ウ = 3