次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。 (1) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} + \dots$ (2) $\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{2 + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{10}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{3n-2} + \sqrt{3n+1}} + \dots$

1. 問題の内容

次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。

(1) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} + \dots$

(2) $\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{2 + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{10}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{3n-2} + \sqrt{3n+1}} + \dots$

2. 解き方の手順

(1)

第 $n$ 項 $a_n$ は

$a_n = \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

部分分数分解すると、

$a_n = \frac{1}{3} (\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1})$

したがって、第 $n$ 部分和 $S_n$ は

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} (\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1})$

$= \frac{1}{3} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{10}) + \dots + (\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1})]$

$= \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3n+1})$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3n+1}) = \frac{1}{3} (1 - 0) = \frac{1}{3}$

(2)

第 $n$ 項 $a_n$ は

$a_n = \frac{1}{\sqrt{3n-2} + \sqrt{3n+1}}$

分母を有理化すると、

$a_n = \frac{\sqrt{3n+1} - \sqrt{3n-2}}{(\sqrt{3n+1} + \sqrt{3n-2})(\sqrt{3n+1} - \sqrt{3n-2})} = \frac{\sqrt{3n+1} - \sqrt{3n-2}}{(3n+1) - (3n-2)} = \frac{\sqrt{3n+1} - \sqrt{3n-2}}{3}$

$= \frac{1}{3} (\sqrt{3n+1} - \sqrt{3n-2})$

したがって、第 $n$ 部分和 $S_n$ は

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} (\sqrt{3k+1} - \sqrt{3k-2})$

$= \frac{1}{3} [(\sqrt{4} - \sqrt{1}) + (\sqrt{7} - \sqrt{4}) + (\sqrt{10} - \sqrt{7}) + \dots + (\sqrt{3n+1} - \sqrt{3n-2})]$

$= \frac{1}{3} (\sqrt{3n+1} - 1)$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} (\sqrt{3n+1} - 1) = \infty$

3. 最終的な答え

(1) 収束し、和は $\frac{1}{3}$

(2) 発散する