- 問題1(ア): 極限 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^x$ を求めます。 - 問題1(イ): 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x}$ を求めます。 - 問題2: 関数 $y = xe^{2x}$ の第3次導関数を求めます。 - 問題3(ア): 媒介変数表示 $x = \sqrt{1 - t^2}, y = t^2 + 2$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として求めます。 - 問題3(イ): 媒介変数表示 $x = 3\cos^3\theta, y = 2\sin^3\theta$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として求めます。 - 問題4: 曲線 $y = \frac{3}{x}$ 上の点 $(1, 3)$ における法線の方程式を求めます。 - 問題5: 曲線 $y = \sqrt{25 - x^2}$ に接し、傾きが $-\frac{3}{4}$ である直線の方程式を求めます。 - 問題6: 原点から曲線 $y = \log x - 1$ に引いた接線の方程式を求めます。 - 問題7: 曲線 $x = e^t, y = e^{-t^2}$ の $t = 1$ に対応する点における接線の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた画像の問題を解きます。今回は、問題1のア、イ、問題2、問題3のア、イ、問題4、問題5、問題6、問題7の全てを解きます。

1. 問題の内容

- 問題1(ア): 極限 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^x$ を求めます。

- 問題1(イ): 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x}$ を求めます。

- 問題2: 関数 $y = xe^{2x}$ の第3次導関数を求めます。

- 問題3(ア): 媒介変数表示 $x = \sqrt{1 - t^2}, y = t^2 + 2$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として求めます。

- 問題3(イ): 媒介変数表示 $x = 3\cos^3\theta, y = 2\sin^3\theta$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として求めます。

- 問題4: 曲線 $y = \frac{3}{x}$ 上の点 $(1, 3)$ における法線の方程式を求めます。

- 問題5: 曲線 $y = \sqrt{25 - x^2}$ に接し、傾きが $-\frac{3}{4}$ である直線の方程式を求めます。

- 問題6: 原点から曲線 $y = \log x - 1$ に引いた接線の方程式を求めます。

- 問題7: 曲線 $x = e^t, y = e^{-t^2}$ の $t = 1$ に対応する点における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

- 問題1(ア): $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^x$

これは基本的な極限の形です。$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ を利用します。

したがって、$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^x = e^3$

- 問題1(イ): $\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x}$

これは $2^x$ の $x=0$ における微分係数の定義です。すなわち、$\frac{d}{dx} 2^x |_{x=0} = 2^x \log 2 |_{x=0} = \log 2$。

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x} = \log 2$

- 問題2: $y = xe^{2x}$ の第3次導関数

$y' = e^{2x} + 2xe^{2x} = (1 + 2x)e^{2x}$

$y'' = 2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x} = (4 + 4x)e^{2x}$

$y''' = 4e^{2x} + 8e^{2x} + 8xe^{2x} = (12 + 8x)e^{2x}$

- 問題3(ア): $x = \sqrt{1 - t^2}, y = t^2 + 2$

$\frac{dx}{dt} = \frac{-2t}{2\sqrt{1 - t^2}} = \frac{-t}{\sqrt{1 - t^2}}$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2t}{\frac{-t}{\sqrt{1 - t^2}}} = -2\sqrt{1 - t^2}$

- 問題3(イ): $x = 3\cos^3\theta, y = 2\sin^3\theta$

$\frac{dx}{d\theta} = 3 \cdot 3\cos^2\theta (-\sin\theta) = -9\cos^2\theta \sin\theta$

$\frac{dy}{d\theta} = 2 \cdot 3\sin^2\theta \cos\theta = 6\sin^2\theta \cos\theta$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{6\sin^2\theta \cos\theta}{-9\cos^2\theta \sin\theta} = -\frac{2}{3} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{2}{3} \tan\theta$

- 問題4: $y = \frac{3}{x}$ 上の点 $(1, 3)$ における法線の方程式

$y' = -\frac{3}{x^2}$

点 $(1, 3)$ における接線の傾きは $y'(1) = -3$。

法線の傾きは $\frac{1}{3}$。

したがって、法線の方程式は $y - 3 = \frac{1}{3}(x - 1)$ つまり $y = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$

- 問題5: $y = \sqrt{25 - x^2}$ に接し、傾きが $-\frac{3}{4}$ である直線の方程式

$y' = \frac{-2x}{2\sqrt{25 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{25 - x^2}}$

接点の $x$ 座標を $x_0$ とすると、$\frac{-x_0}{\sqrt{25 - x_0^2}} = -\frac{3}{4}$。

$4x_0 = 3\sqrt{25 - x_0^2}$

$16x_0^2 = 9(25 - x_0^2) = 225 - 9x_0^2$

$25x_0^2 = 225$

$x_0^2 = 9$

$x_0 = \pm 3$

$x_0 = 3$ のとき、$y_0 = \sqrt{25 - 9} = 4$。接線の方程式は $y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$ つまり $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$

$x_0 = -3$ のとき、$y_0 = \sqrt{25 - 9} = 4$。接線の方程式は $y - 4 = -\frac{3}{4}(x + 3)$ つまり $y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$

- 問題6: 原点から曲線 $y = \log x - 1$ に引いた接線の方程式

接点の座標を $(x_0, \log x_0 - 1)$ とする。

$y' = \frac{1}{x}$ より、接線の傾きは $\frac{1}{x_0}$。

接線の方程式は $y - (\log x_0 - 1) = \frac{1}{x_0}(x - x_0)$。

原点を通るので、 $0 - (\log x_0 - 1) = \frac{1}{x_0}(0 - x_0)$

$-\log x_0 + 1 = -1$

$\log x_0 = 2$

$x_0 = e^2$

接点は $(e^2, 1)$。傾きは $\frac{1}{e^2}$。

接線の方程式は $y = \frac{1}{e^2}x$

- 問題7: 曲線 $x = e^t, y = e^{-t^2}$ の $t = 1$ に対応する点における接線の方程式

$t = 1$ のとき、$(x, y) = (e, e^{-1})$

$\frac{dx}{dt} = e^t, \frac{dy}{dt} = -2te^{-t^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-2te^{-t^2}}{e^t} = -2te^{-t^2 - t}$

$t = 1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -2e^{-2}$

接線の方程式は $y - e^{-1} = -2e^{-2}(x - e)$

$y = -2e^{-2}x + 2e^{-1} + e^{-1}$

$y = -2e^{-2}x + 3e^{-1}$

3. 最終的な答え

- 問題1(ア): $e^3$

- 問題1(イ): $\log 2$

- 問題2: $(12 + 8x)e^{2x}$

- 問題3(ア): $-2\sqrt{1 - t^2}$

- 問題3(イ): $-\frac{2}{3} \tan\theta$

- 問題4: $y = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$

- 問題5: $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$ , $y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$

- 問題6: $y = \frac{1}{e^2}x$

- 問題7: $y = -2e^{-2}x + 3e^{-1}$