与えられた関数の極限 $\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin(x-1)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin(x-1)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を因数分解します。

$1-x^2 = (1-x)(1+x) = -(x-1)(1+x)$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{-(x-1)(1+x)}{\sin(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sin(x-1)} \cdot \lim_{x \to 1} -(1+x)$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(x-1)}{x-1} = 1$ より $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sin(x-1)} = 1$ です。

また、$\lim_{x \to 1} -(1+x) = -(1+1) = -2$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin(x-1)} = 1 \times -2 = -2$

3. 最終的な答え

-2