$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x}$ の極限値をロピタルの定理を用いて求め、$\frac{1}{[ア]}$ の形で表したときの $[ア]$ に入る数字を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x}$ の極限値をロピタルの定理を用いて求め、$\frac{1}{[ア]}$ の形で表したときの $[ア]$ に入る数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ の形の極限で、$\lim_{x \to a} f(x) = 0$ かつ $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ (または $\pm \infty$) のとき、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというものです。ただし、$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が存在する場合に限ります。

与えられた極限において、$x \to 0$ のとき $\cos x - 1 \to 0$ であり、$x \sin x \to 0$ であるため、ロピタルの定理を適用できます。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(\cos x - 1) = -\sin x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(x \sin x) = \sin x + x \cos x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\sin x + x \cos x}$

$x \to 0$ のとき、$-\sin x \to 0$ であり、$\sin x + x \cos x \to 0$ であるため、再度ロピタルの定理を適用できます。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(\sin x + x \cos x) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2\cos x - x \sin x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\sin x + x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2\cos x - x \sin x}$

$x \to 0$ のとき、$-\cos x \to -1$ であり、$2\cos x - x \sin x \to 2$ となるため、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2\cos x - x \sin x} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \sin x} = -\frac{1}{2}$

求める形式は $-\frac{1}{[ア]}$ なので、 $[ア]$ には 2 が入ります。

3. 最終的な答え

2