与えられた10個の関数について、それぞれ微分を計算せよ。

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数について、それぞれ微分を計算せよ。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順に従って微分を計算します。

(1) $y = \frac{1}{x^2 + x + 1}$

これは合成関数の微分です。$u = x^2 + x + 1$ とおくと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{(x^2 + x + 1)^2} \cdot (2x + 1) = -\frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2}$

(2) $y = (x^2 - 2)^2$

これも合成関数の微分です。$u = x^2 - 2$ とおくと、$y = u^2$。

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2(x^2 - 2) \cdot 2x = 4x(x^2 - 2) = 4x^3 - 8x$

(3) $y = \tan^2 x = (\tan x)^2$

合成関数の微分です。$u = \tan x$ とおくと、$y = u^2$。

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2 \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2 \sin x}{\cos^3 x}$

(4) $y = x \sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{x}$

(5) $y = \cos x^2$

合成関数の微分です。$u = x^2$ とおくと、$y = \cos u$。

$\frac{dy}{du} = -\sin u$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \sin x^2$

(6) $y = \log(x^2 + 1)$

合成関数の微分です。$u = x^2 + 1$ とおくと、$y = \log u$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(7) $y = 2^{-3x}$

合成関数の微分です。$u = -3x$ とおくと、$y = 2^u$。

$\frac{dy}{du} = 2^u \log 2$

$\frac{du}{dx} = -3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2^{-3x} \log 2 \cdot (-3) = -3 \cdot 2^{-3x} \log 2$

(8) $y = \log |\tan x|$

合成関数の微分です。$u = \tan x$ とおくと、$y = \log |u|$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$

(9) $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

商の微分公式を使います。

$y' = \frac{(e^x - (-e^{-x}))(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

(10) $y = x^{2x}$ ($x > 0$)

両辺の対数を取ります。

$\log y = 2x \log x$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \log x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \log x + 2$

$\frac{dy}{dx} = y (2 \log x + 2) = x^{2x} (2 \log x + 2) = 2 x^{2x} (\log x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2}$

(2) $y' = 4x^3 - 8x$

(3) $y' = \frac{2 \sin x}{\cos^3 x}$

(4) $y' = \frac{3}{2} \sqrt{x}$

(5) $y' = -2x \sin x^2$

(6) $y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(7) $y' = -3 \cdot 2^{-3x} \log 2$

(8) $y' = \frac{2}{\sin 2x}$

(9) $y' = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

(10) $y' = 2 x^{2x} (\log x + 1)$