$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。 (1) $\sin x > x - \frac{x^2}{2}$ (2) $\log(1+x) > x + x \log \frac{2}{x+2}$ ここでは、(1) のみを解きます。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。

(1) $\sin x > x - \frac{x^2}{2}$

(2) $\log(1+x) > x + x \log \frac{2}{x+2}$

ここでは、(1) のみを解きます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin x - (x - \frac{x^2}{2})$ とおく。

$f(x) = \sin x - x + \frac{x^2}{2}$

$f'(x) = \cos x - 1 + x$

$f''(x) = -\sin x + 1$

$x > 0$ より、$f''(x) \geq 0$ なので、$f'(x)$ は単調増加です。

したがって、$f'(x) > f'(0) = 0$

よって、$f(x)$ は単調増加です。

$f(x) > f(0) = 0$ したがって、$\sin x > x - \frac{x^2}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin x > x - \frac{x^2}{2}$