次の重積分を計算します。 $\iint_D x^2 + y^2 dxdy$ ここで、$D = \{(x, y) | y = x, y = 2x, x = 1 で囲まれる領域\}$ です。

1. 問題の内容

次の重積分を計算します。

$\iint_D x^2 + y^2 dxdy$

ここで、$D = \{(x, y) | y = x, y = 2x, x = 1 で囲まれる領域\}$ です。

2. 解き方の手順

まず、積分領域Dを図示します。Dは、直線 $y=x$, $y=2x$, $x=1$ で囲まれた三角形の領域です。

$x$ の積分範囲は $0 \le x \le 1$ であり、$y$ の積分範囲は $x \le y \le 2x$ です。

したがって、重積分は次のように書けます。

$\int_{0}^{1} \int_{x}^{2x} (x^2 + y^2) dy dx$

まず内側の積分を計算します。

$\int_{x}^{2x} (x^2 + y^2) dy = [x^2y + \frac{1}{3}y^3]_x^{2x} = (x^2(2x) + \frac{1}{3}(2x)^3) - (x^2(x) + \frac{1}{3}(x)^3)$

$= (2x^3 + \frac{8}{3}x^3) - (x^3 + \frac{1}{3}x^3) = x^3 + \frac{7}{3}x^3 = \frac{10}{3}x^3$

次に外側の積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{10}{3}x^3 dx = \frac{10}{3} \int_{0}^{1} x^3 dx = \frac{10}{3} [\frac{1}{4}x^4]_0^1 = \frac{10}{3} (\frac{1}{4} - 0) = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{6}$