関数 $f(x) = (ax + 1)e^x$ が $x=0$ で極値をとるように、定数 $a$ の値を定める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (ax + 1)e^x$ が $x=0$ で極値をとるように、定数 $a$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分する。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = ax + 1$, $v = e^x$ とすると、 $u' = a$, $v' = e^x$ となる。

したがって、

$f'(x) = a e^x + (ax+1)e^x = (ax + a + 1)e^x$

関数 $f(x)$ が $x=0$ で極値をとるためには、$f'(0) = 0$ である必要がある。

$f'(0) = (a \cdot 0 + a + 1)e^0 = (a+1) \cdot 1 = a+1$

したがって、$a+1 = 0$ より $a = -1$ である。

次に、$a=-1$ のときに本当に $x=0$ で極値を持つか確認する。

$f'(x) = (-x -1 + 1)e^x = -xe^x$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=0$ のときのみ。

$x < 0$ のとき、$-x > 0$ なので $f'(x) > 0$

$x > 0$ のとき、$-x < 0$ なので $f'(x) < 0$

よって、$x=0$ の前後で $f'(x)$ の符号が正から負に変わるため、$x=0$ で極大値を持つ。

3. 最終的な答え

$a = -1$