以下の連立微分方程式の一般解を求めます。 $\begin{cases} \frac{dy}{dt} - 2y - 3z = 0 \\ \frac{dz}{dt} + y + 2z = 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

以下の連立微分方程式の一般解を求めます。

$\begin{cases}

\frac{dy}{dt} - 2y - 3z = 0 \\

\frac{dz}{dt} + y + 2z = 0

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、演算子 $D = \frac{d}{dt}$ を用いて、連立微分方程式を書き換えます。

$\begin{cases}

(D - 2)y - 3z = 0 \\

y + (D + 2)z = 0

\end{cases}$

2番目の式から $y$ について解きます。

$y = -(D + 2)z$

これを1番目の式に代入します。

$(D - 2)(-(D + 2)z) - 3z = 0$

$-(D^2 - 4)z - 3z = 0$

$-D^2z + 4z - 3z = 0$

$-D^2z + z = 0$

$D^2z - z = 0$

これは定数係数線形同次微分方程式です。特性方程式は $r^2 - 1 = 0$ となり、$r = \pm 1$ が得られます。したがって、$z$ の一般解は次のようになります。

$z(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-t}$

ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

次に、$y$ を求めます。$y = -(D + 2)z$ でしたので、$z$ を微分し、2倍したものを足して負号を付けます。

$y(t) = -(D+2)z = -(\frac{dz}{dt} + 2z)$

$\frac{dz}{dt} = c_1 e^t - c_2 e^{-t}$

$y(t) = -(c_1 e^t - c_2 e^{-t} + 2(c_1 e^t + c_2 e^{-t}))$

$y(t) = -(c_1 e^t - c_2 e^{-t} + 2c_1 e^t + 2c_2 e^{-t})$

$y(t) = -3c_1 e^t + c_2 e^{-t}$

3. 最終的な答え

$\begin{cases}

y(t) = -3c_1 e^t + c_2 e^{-t} \\

z(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-t}

\end{cases}$

ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。