関数 $y = x^3 + 3x^2 - 1$ の導関数を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

解析学導関数微分積の微分
2025/6/15
## 問題1

1. 問題の内容

関数 y=x3+3x21y = x^3 + 3x^2 - 1 の導関数を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

導関数の定義に従い、各項を微分します。
* xnx^n の微分は nxn1nx^{n-1}
* 定数項の微分は 0
y=ddx(x3+3x21)y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 1)
y=ddx(x3)+ddx(3x2)ddx(1)y' = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(1)
y=3x2+32x0y' = 3x^2 + 3 \cdot 2x - 0
y=3x2+6xy' = 3x^2 + 6x

3. 最終的な答え

選択肢 (3) 3x2+6x3x^2 + 6x
## 問題2

1. 問題の内容

関数 y=(x3+1)(x2+x)y = (x^3 + 1)(x^2 + x) の導関数を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

積の微分公式を利用して微分します。
積の微分公式: (uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv'
y=(x3+1)(x2+x)y = (x^3 + 1)(x^2 + x)
u=x3+1u = x^3 + 1 とおくと u=3x2u' = 3x^2
v=x2+xv = x^2 + x とおくと v=2x+1v' = 2x + 1
y=uv+uvy' = u'v + uv'
y=(3x2)(x2+x)+(x3+1)(2x+1)y' = (3x^2)(x^2 + x) + (x^3 + 1)(2x + 1)
y=3x4+3x3+2x4+x3+2x+1y' = 3x^4 + 3x^3 + 2x^4 + x^3 + 2x + 1
y=(3x4+2x4)+(3x3+x3)+2x+1y' = (3x^4 + 2x^4) + (3x^3 + x^3) + 2x + 1
y=5x4+4x3+2x+1y' = 5x^4 + 4x^3 + 2x + 1

3. 最終的な答え

選択肢 (2) 5x4+4x3+2x+15x^4 + 4x^3 + 2x + 1

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