与えられた微分方程式を解く問題です。 微分方程式は $x \tan y + (1 + x^2) \frac{dy}{dx} = 0$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。

微分方程式は

$x \tan y + (1 + x^2) \frac{dy}{dx} = 0$

で与えられています。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式を解くために、変数分離法を用います。

まず、微分方程式を次のように書き換えます。

$(1 + x^2) \frac{dy}{dx} = -x \tan y$

次に、$dy$ と $dx$ を分離します。

$\frac{dy}{\tan y} = -\frac{x}{1 + x^2} dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{\tan y} = \int -\frac{x}{1 + x^2} dx$

左辺の積分は、$\tan y = \frac{\sin y}{\cos y}$ より、$\frac{1}{\tan y} = \frac{\cos y}{\sin y}$ なので、

$\int \frac{\cos y}{\sin y} dy = \ln |\sin y| + C_1$

右辺の積分は、置換積分法を用いて計算します。$u = 1 + x^2$ とすると、$du = 2x dx$ となるので、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int -\frac{x}{1 + x^2} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{2} \ln |u| + C_2 = -\frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C_2$

($1+x^2$ は常に正なので絶対値を外しました)

したがって、

$\ln |\sin y| = -\frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C$ (ここで $C = C_2 - C_1$)

両辺を指数関数で書き換えます。

$|\sin y| = e^{-\frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C} = e^C e^{-\frac{1}{2} \ln (1 + x^2)} = e^C (1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} = e^C \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

$\sin y = \pm e^C \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ と書けます。$\pm e^C = A$ と置くと（$A$は任意の定数）、

$\sin y = \frac{A}{\sqrt{1 + x^2}}$

3. 最終的な答え

$\sin y = \frac{A}{\sqrt{1 + x^2}}$ （$A$は任意定数）