関数 $y = (2x)^x$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (2x)^x$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この関数は $y = f(x)^{g(x)}$ の形をしているため、両辺の自然対数をとってから微分します。

ステップ1：両辺の自然対数をとります。

$$\ln{y} = \ln{(2x)^x} = x \ln{(2x)}$$

ステップ2：両辺を $x$ について微分します。

左辺は連鎖律を用いて、$\frac{d}{dx}(\ln{y}) = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$ となります。

右辺は積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いて微分します。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln{(2x)}) = 1 \cdot \ln{(2x)} + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \ln{(2x)} + 1$$

ステップ3：$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$$\frac{dy}{dx} = y (\ln{(2x)} + 1)$$

ステップ4：$y = (2x)^x$ を代入します。

$$\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln{(2x)} + 1)$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln{(2x)} + 1)$$