与えられた2つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{x^3 - 4x + 2}{x^2 - 3x + 2} dx$ (2) $\int \frac{9x^2 + x + 16}{x^3 - 2x + 4} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{x^3 - 4x + 2}{x^2 - 3x + 2} dx$

(2) $\int \frac{9x^2 + x + 16}{x^3 - 2x + 4} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x^3 - 4x + 2}{x^2 - 3x + 2} dx$ を計算します。

まず、被積分関数を割り算で簡単にします。$x^2 - 3x + 2$で$x^3 - 4x + 2$を割ると、$x+3$が商、$5x-4$が余りとなります。したがって、

$\frac{x^3 - 4x + 2}{x^2 - 3x + 2} = x + 3 + \frac{5x - 4}{x^2 - 3x + 2}$

次に、$x^2 - 3x + 2$を因数分解します。

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

したがって、

$\frac{5x - 4}{x^2 - 3x + 2} = \frac{5x - 4}{(x - 1)(x - 2)}$

これを部分分数分解します。

$\frac{5x - 4}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$

$5x - 4 = A(x - 2) + B(x - 1)$

$x = 1$のとき、 $5(1) - 4 = A(1 - 2) + B(1 - 1) \Rightarrow 1 = -A \Rightarrow A = -1$

$x = 2$のとき、 $5(2) - 4 = A(2 - 2) + B(2 - 1) \Rightarrow 6 = B \Rightarrow B = 6$

したがって、

$\frac{5x - 4}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-1}{x - 1} + \frac{6}{x - 2}$

積分を計算します。

$\int \frac{x^3 - 4x + 2}{x^2 - 3x + 2} dx = \int (x + 3 - \frac{1}{x - 1} + \frac{6}{x - 2}) dx$

$= \int x dx + \int 3 dx - \int \frac{1}{x - 1} dx + \int \frac{6}{x - 2} dx$

$= \frac{x^2}{2} + 3x - \ln|x - 1| + 6\ln|x - 2| + C$

(2) $\int \frac{9x^2 + x + 16}{x^3 - 2x + 4} dx$ を計算します。

$f(x) = x^3 - 2x + 4$とすると、$f'(x) = 3x^2 - 2$となります。

与えられた積分は、$\int \frac{9x^2 + x + 16}{x^3 - 2x + 4} dx$です。分母の微分形が分子に含まれていないので、別の方法を探します。

$x = -2$のとき、$(-2)^3 - 2(-2) + 4 = -8 + 4 + 4 = 0$となるので、$x + 2$を因数に持ちます。

$x^3 - 2x + 4 = (x + 2)(x^2 - 2x + 2)$

$\frac{9x^2 + x + 16}{(x + 2)(x^2 - 2x + 2)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{Bx + C}{x^2 - 2x + 2}$

$9x^2 + x + 16 = A(x^2 - 2x + 2) + (Bx + C)(x + 2)$

$9x^2 + x + 16 = Ax^2 - 2Ax + 2A + Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C$

$9x^2 + x + 16 = (A + B)x^2 + (-2A + 2B + C)x + (2A + 2C)$

係数を比較すると、

$A + B = 9$

$-2A + 2B + C = 1$

$2A + 2C = 16 \Rightarrow A + C = 8 \Rightarrow C = 8 - A$

$-2A + 2(9 - A) + 8 - A = 1$

$-2A + 18 - 2A + 8 - A = 1$

$-5A + 26 = 1$

$-5A = -25$

$A = 5$

$B = 9 - 5 = 4$

$C = 8 - 5 = 3$

$\frac{9x^2 + x + 16}{(x + 2)(x^2 - 2x + 2)} = \frac{5}{x + 2} + \frac{4x + 3}{x^2 - 2x + 2}$

$\int \frac{5}{x + 2} dx + \int \frac{4x + 3}{x^2 - 2x + 2} dx$

$\int \frac{5}{x + 2} dx = 5\ln|x + 2|$

$\int \frac{4x + 3}{x^2 - 2x + 2} dx = \int \frac{2(2x - 2) + 7}{x^2 - 2x + 2} dx = 2\int \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2} dx + 7\int \frac{1}{x^2 - 2x + 2} dx$

$= 2\ln|x^2 - 2x + 2| + 7\int \frac{1}{(x - 1)^2 + 1} dx = 2\ln|x^2 - 2x + 2| + 7\arctan(x - 1) + C$

したがって、$\int \frac{9x^2 + x + 16}{x^3 - 2x + 4} dx = 5\ln|x + 2| + 2\ln(x^2 - 2x + 2) + 7\arctan(x - 1) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{x^3 - 4x + 2}{x^2 - 3x + 2} dx = \frac{x^2}{2} + 3x - \ln|x - 1| + 6\ln|x - 2| + C$

(2) $\int \frac{9x^2 + x + 16}{x^3 - 2x + 4} dx = 5\ln|x + 2| + 2\ln(x^2 - 2x + 2) + 7\arctan(x - 1) + C$