与えられた2階線形同次微分方程式 $4y'' + 2y' + y = 0$ の一般解を求める。

1. 問題の内容

与えられた2階線形同次微分方程式 $4y'' + 2y' + y = 0$ の一般解を求める。

2. 解き方の手順

まず、特性方程式を立てる。

$y''$ を $r^2$、$y'$ を $r$、$y$ を $1$ で置き換える。

特性方程式は次のようになる。

$4r^2 + 2r + 1 = 0$

次に、この2次方程式を解く。解の公式を用いると、

$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$a = 4$, $b = 2$, $c = 1$ なので、

$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(1)}}{2(4)}$

$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{8}$

$r = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{8}$

$r = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{8}$

$r = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{4}$

$r = -\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{3}}{4}i$

特性方程式の解は複素数である。一般解は次の形で表される。

$y(x) = e^{\alpha x}(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x))$

ここで、$r = \alpha \pm i\beta$ である。

この場合、$\alpha = -\frac{1}{4}$、$\beta = \frac{\sqrt{3}}{4}$ である。

したがって、一般解は

$y(x) = e^{-\frac{1}{4}x}(c_1 \cos(\frac{\sqrt{3}}{4}x) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{3}}{4}x))$

3. 最終的な答え

$y(x) = e^{-\frac{1}{4}x}(c_1 \cos(\frac{\sqrt{3}}{4}x) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{3}}{4}x))$