与えられた問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} (\log x)^{\frac{1}{x}}$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} (\log x)^{\frac{1}{x}}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$y = (\log x)^{\frac{1}{x}}$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log (\log x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \log (\log x) = \frac{\log (\log x)}{x}$

次に、$x \to \infty$ のときの $\log y$ の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \log y = \lim_{x \to \infty} \frac{\log (\log x)}{x}$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log (\log x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \log x}$

$x \to \infty$ のとき、$x \log x \to \infty$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \log x} = 0$

したがって、$\lim_{x \to \infty} \log y = 0$ です。

$\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} e^{\log y} = e^{\lim_{x \to \infty} \log y} = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (\log x)^{\frac{1}{x}} = 1$