双曲線関数 $\sinh x$ と $\cosh x$ がそれぞれ $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$、$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ と定義されるとき、$\sinh(i\theta)$ と $\cosh(i\theta)$ を三角関数 ($\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$) を用いて表す。

1. 問題の内容

双曲線関数 $\sinh x$ と $\cosh x$ がそれぞれ $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$、$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ と定義されるとき、$\sinh(i\theta)$ と $\cosh(i\theta)$ を三角関数 ($\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$) を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\sinh(i\theta)$ を計算する。

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ に $x = i\theta$ を代入すると、

$\sinh(i\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}$

オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ と $e^{-i\theta} = \cos \theta - i \sin \theta$ を用いると、

$\sinh(i\theta) = \frac{(\cos \theta + i \sin \theta) - (\cos \theta - i \sin \theta)}{2} = \frac{2i \sin \theta}{2} = i \sin \theta$

次に、$\cosh(i\theta)$ を計算する。

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ に $x = i\theta$ を代入すると、

$\cosh(i\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$

オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ と $e^{-i\theta} = \cos \theta - i \sin \theta$ を用いると、

$\cosh(i\theta) = \frac{(\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos \theta - i \sin \theta)}{2} = \frac{2 \cos \theta}{2} = \cos \theta$

3. 最終的な答え

$\sinh(i\theta) = i \sin \theta$

$\cosh(i\theta) = \cos \theta$