与えられた関数 $y = 3x^4 - 16x^3 + 18x^2 + 8$ のグラフを描く問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 3x^4 - 16x^3 + 18x^2 + 8$ のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、増減表を作成します。

(1) 一階微分を計算します。

$y' = 12x^3 - 48x^2 + 36x$

$y' = 12x(x^2 - 4x + 3)$

$y' = 12x(x - 1)(x - 3)$

(2) $y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$12x(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 0, 1, 3$

(3) 二階微分を計算します。

$y'' = 36x^2 - 96x + 36$

$y'' = 12(3x^2 - 8x + 3)$

(4) $y'' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x^2 - 8x + 3 = 0$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

$x_1 = \frac{4 - \sqrt{7}}{3} \approx 0.451$

$x_2 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3} \approx 2.215$

(5) 増減表を作成します。

| x | ... | 0 | ... | 1 | ... | 3 | ... |

| :---- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 減少 | 8 | 増加 | 13 | 減少 | 8 | 増加 |

$x=0$ のとき $y = 8$

$x=1$ のとき $y = 3 - 16 + 18 + 8 = 13$

$x=3$ のとき $y = 3(81) - 16(27) + 18(9) + 8 = 243 - 432 + 162 + 8 = 8$

$y''$ の符号を調べるために、上記で求めた $x_1$, $x_2$ を代入します。

$x=0$, $y''=36>0$

$x=1$, $y''=36-96+36=-24<0$

$x=3$, $y''=36(3) - 96(3)+36=108-288+36=-144<0$

$x=x_1$, $x=x_2$のとき、$y''=0$

(6) 増減表と二階微分からグラフを描きます。

3. 最終的な答え

グラフは、

- $x=0$で極小値 $y=8$ をとる。

- $x=1$で極大値 $y=13$ をとる。

- $x=3$で極小値 $y=8$ をとる。

- グラフの凹凸は$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$で変化する。

となります。グラフの概形を描いてください。