問題は2つの部分に分かれています。 練習3では、次の2つの関数の微分を求める必要があります。 (1) $y = (3x+1)^4$ (2) $y = (3-2x^2)^3$ 練習4では、次の2つの関数の微分を求める必要があります。 (1) $y = x^{\frac{1}{6}}$ (2) $y = \sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

練習3では、次の2つの関数の微分を求める必要があります。

(1) $y = (3x+1)^4$

(2) $y = (3-2x^2)^3$

練習4では、次の2つの関数の微分を求める必要があります。

(1) $y = x^{\frac{1}{6}}$

(2) $y = \sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$

2. 解き方の手順

練習3 (1) $y = (3x+1)^4$

合成関数の微分を使います。$u = 3x+1$と置くと、$y = u^4$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12u^3 = 12(3x+1)^3$

練習3 (2) $y = (3-2x^2)^3$

合成関数の微分を使います。$u = 3-2x^2$と置くと、$y = u^3$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = -4x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot (-4x) = -12x(3-2x^2)^2$

練習4 (1) $y = x^{\frac{1}{6}}$

べき関数の微分を使います。$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1} = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}}$

練習4 (2) $y = x^{\frac{3}{4}}$

べき関数の微分を使います。$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}$

3. 最終的な答え

練習3

(1) $\frac{dy}{dx} = 12(3x+1)^3$

(2) $\frac{dy}{dx} = -12x(3-2x^2)^2$

練習4

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}$