以下の6つの三角関数の値を計算します。 (1) $tan(arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\pi}{2})$ (2) $cos(arcsin(-\frac{1}{2}))$ (3) $arctan(tan(\frac{5}{6}\pi))$ (4) $arccos(sin(\frac{\pi}{5}))$ (5) $sin(arccos(\frac{1}{3}))$ (6) $sin(arctan(3))$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

以下の6つの三角関数の値を計算します。

(1) $tan(arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\pi}{2})$

(2) $cos(arcsin(-\frac{1}{2}))$

(3) $arctan(tan(\frac{5}{6}\pi))$

(4) $arccos(sin(\frac{\pi}{5}))$

(5) $sin(arccos(\frac{1}{3}))$

(6) $sin(arctan(3))$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}})$を求めます。$cos(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$となる$\theta$は$\frac{3\pi}{4}$です。

したがって、$tan(arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\pi}{2}) = tan(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}) = tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

(2)

$arcsin(-\frac{1}{2})$を求めます。$sin(\theta) = -\frac{1}{2}$となる$\theta$は$-\frac{\pi}{6}$です。

したがって、$cos(arcsin(-\frac{1}{2})) = cos(-\frac{\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3)

$tan(\frac{5}{6}\pi) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$です。

したがって、$arctan(tan(\frac{5}{6}\pi)) = arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$

(4)

$sin(\frac{\pi}{5})$を求めます。$arccos(sin(\frac{\pi}{5})) = arccos(cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}))=arccos(cos(\frac{3\pi}{10}))=\frac{3\pi}{10}$

(5)

$arccos(\frac{1}{3}) = \theta$とすると、$cos(\theta) = \frac{1}{3}$です。

$sin^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1$より、$sin^2(\theta) = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

したがって、$sin(\theta) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$sin(arccos(\frac{1}{3})) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(6)

$arctan(3) = \theta$とすると、$tan(\theta) = 3$です。

$tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} = 3$なので、$sin(\theta) = 3cos(\theta)$です。

$sin^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1$より、$(3cos(\theta))^2 + cos^2(\theta) = 1$

$9cos^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1$

$10cos^2(\theta) = 1$

$cos^2(\theta) = \frac{1}{10}$

$cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$sin(\theta) = 3cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{10}}$

したがって、$sin(arctan(3)) = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $-\frac{\pi}{6}$

(4) $\frac{3\pi}{10}$

(5) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(6) $\frac{3\sqrt{10}}{10}$