関数 $f(x) = \arcsin x$ のマクローリン級数とその収束半径を、以下の手順に従って求めます。 (1) $(1 - x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ が成り立つことを示します。 (2) 自然数 $n$ に対して $(1 - x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n + 1)xf^{(n+1)}(x) - n^2f^{(n)}(x) = 0$ が成り立つことを示します。 (3) $f^{(n)}(0)$ を求めます。 (4) $f(x)$ のマクローリン級数とその収束半径を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arcsin x$ のマクローリン級数とその収束半径を、以下の手順に従って求めます。

(1) $(1 - x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ が成り立つことを示します。

(2) 自然数 $n$ に対して $(1 - x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n + 1)xf^{(n+1)}(x) - n^2f^{(n)}(x) = 0$ が成り立つことを示します。

(3) $f^{(n)}(0)$ を求めます。

(4) $f(x)$ のマクローリン級数とその収束半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \arcsin x$ なので、$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$、$f''(x) = \frac{x}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}$ となります。

$(1 - x^2)f''(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ であり、$xf'(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ なので、

$(1 - x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ が成り立ちます。

(2) $(1 - x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ を $n$ 回微分します。ライプニッツの公式を用いると、

$\sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (1-x^2)^{(k)} (f''(x))^{(n-k)} - \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x)^{(k)} (f'(x))^{(n-k)} = 0$

$(1 - x^2)f^{(n+2)}(x) + n(-2x)f^{(n+1)}(x) + \frac{n(n-1)}{2}(-2)f^{(n)}(x) - xf^{(n+1)}(x) - nf^{(n)}(x) = 0$

$(1 - x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - (n^2)f^{(n)}(x) = 0$

(3)

$x=0$ を代入すると、

$f^{(n+2)}(0) = n^2f^{(n)}(0)$

$f(x) = \arcsin x$ より $f(0) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ より $f'(0) = 1$

$n$が偶数のとき、$n=2k$とすると、$f^{(2k)}(0) = (2k-2)^2 f^{(2k-2)}(0) = \cdots = 0$

$n$が奇数のとき、$n=2k+1$とすると、$f^{(2k+1)}(0) = (2k-1)^2 f^{(2k-1)}(0) = \cdots = 1^2 f'(0) = ((2k-1)!!)^2 = ((n-2)!!)^2$

よって、$f^{(n)}(0) = 0$ (nが偶数のとき), $f^{(n)}(0) = ((n-2)!!)^2$ (nが奇数のとき)

(4) マクローリン級数は $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ です。

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{((2k-1)!!)^2}{(2k+1)!}x^{2k+1} = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \dots$

収束半径は、$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ とおくと、

$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{((2k+1)!!)^2}{(2k+3)!}}{\frac{((2k-1)!!)^2}{(2k+1)!}} = \lim_{k \to \infty} \frac{(2k+1)^2}{(2k+2)(2k+3)} = 1$

したがって、収束半径は1です。

3. 最終的な答え

(1) $(1 - x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$

(2) $(1 - x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - n^2f^{(n)}(x) = 0$

(3) $f^{(n)}(0) = 0$ (nが偶数のとき), $f^{(n)}(0) = ((n-2)!!)^2$ (nが奇数のとき)

(4) $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{((2k-1)!!)^2}{(2k+1)!}x^{2k+1}$ 、収束半径は1