(1) $\lim_{x \to a} \frac{x \sin x - a \sin a}{\sin(x-a)}$ を求めよ。 (2) $\lim_{h \to 0} \frac{e^{(h+1)^2} - e^{h^2 + 1}}{h}$ を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた問題について、順番に解説します。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to a} \frac{x \sin x - a \sin a}{\sin(x-a)}$ を求めよ。

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{e^{(h+1)^2} - e^{h^2 + 1}}{h}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to a} \frac{x \sin x - a \sin a}{\sin(x-a)}$

この極限は、ロピタルの定理を使うことを検討します。$x \to a$ のとき、分子は $a \sin a - a \sin a = 0$ に近づき、分母は $\sin(a-a) = \sin(0) = 0$ に近づくので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。

したがって、ロピタルの定理を使うことができます。分子と分母をそれぞれ $x$ で微分します。

分子の微分:

$\frac{d}{dx}(x \sin x - a \sin a) = \sin x + x \cos x$

分母の微分:

$\frac{d}{dx}(\sin(x-a)) = \cos(x-a)$

したがって、

$\lim_{x \to a} \frac{x \sin x - a \sin a}{\sin(x-a)} = \lim_{x \to a} \frac{\sin x + x \cos x}{\cos(x-a)}$

$x \to a$ のとき、

$\frac{\sin a + a \cos a}{\cos(a-a)} = \frac{\sin a + a \cos a}{\cos(0)} = \frac{\sin a + a \cos a}{1} = \sin a + a \cos a$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{e^{(h+1)^2} - e^{h^2 + 1}}{h}$

この極限も、ロピタルの定理を使うことを検討します。$h \to 0$ のとき、分子は $e^{(0+1)^2} - e^{0^2 + 1} = e^1 - e^1 = 0$ に近づき、分母は $0$ に近づくので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。

したがって、ロピタルの定理を使うことができます。分子と分母をそれぞれ $h$ で微分します。

分子の微分:

$\frac{d}{dh}(e^{(h+1)^2} - e^{h^2 + 1}) = e^{(h+1)^2} \cdot 2(h+1) - e^{h^2 + 1} \cdot 2h = 2(h+1)e^{(h+1)^2} - 2h e^{h^2 + 1}$

分母の微分:

$\frac{d}{dh}(h) = 1$

したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{e^{(h+1)^2} - e^{h^2 + 1}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2(h+1)e^{(h+1)^2} - 2h e^{h^2 + 1}}{1}$

$h \to 0$ のとき、

$2(0+1)e^{(0+1)^2} - 2(0) e^{0^2 + 1} = 2(1)e^1 - 0 = 2e$

3. 最終的な答え

(1) $\sin a + a \cos a$

(2) $2e$