区間 $[a, b]$ で定義された実数値連続関数全体がつくるベクトル空間 $V$ において、 $f, g \in V$ に対して、 $(f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$ とおくと、$(f, g)$ は内積を定義することを示せ。

1. 問題の内容

区間 $[a, b]$ で定義された実数値連続関数全体がつくるベクトル空間 $V$ において、 $f, g \in V$ に対して、

$(f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$

とおくと、$(f, g)$ は内積を定義することを示せ。

2. 解き方の手順

内積を定義するためには、以下の4つの性質を満たすことを示す必要があります。

(1) 対称性: $(f, g) = (g, f)$

(2) 線形性: $(af + bg, h) = a(f, h) + b(g, h)$

(3) 正値性: $(f, f) \geq 0$

(4) 非退化性: $(f, f) = 0 \iff f = 0$

(1) 対称性:

$(f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx = \int_{a}^{b} g(x)f(x) dx = (g, f)$

したがって、対称性が成り立つ。

(2) 線形性:

$(af + bg, h) = \int_{a}^{b} (af(x) + bg(x))h(x) dx = \int_{a}^{b} (af(x)h(x) + bg(x)h(x)) dx$

$= \int_{a}^{b} af(x)h(x) dx + \int_{a}^{b} bg(x)h(x) dx = a\int_{a}^{b} f(x)h(x) dx + b\int_{a}^{b} g(x)h(x) dx$

$= a(f, h) + b(g, h)$

したがって、線形性が成り立つ。

(3) 正値性:

$(f, f) = \int_{a}^{b} f(x)^2 dx$

$f(x)^2 \geq 0$ であるから、$\int_{a}^{b} f(x)^2 dx \geq 0$

したがって、正値性が成り立つ。

(4) 非退化性:

$(f, f) = \int_{a}^{b} f(x)^2 dx = 0$ とする。

$f(x)$ は連続関数であり、$f(x)^2 \geq 0$ であるから、$\int_{a}^{b} f(x)^2 dx = 0$ となるためには、区間 $[a, b]$ で $f(x)^2 = 0$ である必要がある。

したがって、$f(x) = 0$ for all $x \in [a, b]$。

逆に、$f(x) = 0$ ならば、$(f, f) = \int_{a}^{b} 0^2 dx = 0$。

したがって、非退化性が成り立つ。

以上の(1)から(4)より、$(f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$ は内積を定義する。

3. 最終的な答え

$(f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$ は内積を定義する。