与えられた4つの極限の収束・発散を調べ、収束する場合はその極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$ (3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$ (4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限の収束・発散を調べ、収束する場合はその極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$

(3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$

(4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to 1+0$ のとき、$x > 1$ なので、$x-1 > 0$。したがって、$|x-1| = x-1$ となります。

よって、

$\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} 1 = 1$

(2) $x \to 2-0$ のとき、$x < 2$ なので、$x-2 < 0$。$x$ が 2 に近づくにつれて、$x-2$ は 0 に近づき、負の値をとります。

よって、

$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2} = -\infty$

(3) $x \to -2-0$ のとき、$x < -2$ なので、$x+2 < 0$。しかし、$(x+2)^2$ は常に正の値をとります。また、$x$ が -2 に近づくにつれて、$(x+2)^2$ は 0 に近づきます。

よって、

$\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2} = +\infty$

(4) $x \to -1$ のとき、$x$ が -1 に近づくにつれて、$|x+1|$ は 0 に近づきます。 $|x+1|$ は常に非負の値をとります。

よって、

$\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|} = +\infty$

3. 最終的な答え

(1) 収束し、極限値は 1

(2) 発散（$-\infty$）

(3) 発散（$+\infty$）

(4) 発散（$+\infty$）