問題は2つあります。 (1) $\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ を求めよ。 (2) $n$ が奇数のとき、 $$ \sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell + 1)!} x^{2\ell + 1} + \frac{\sin \left( \theta x + \frac{n\pi}{2} \right)}{n!} x^n \quad (0 < \theta < 1) $$ である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ を求めよ。

(2) $n$ が奇数のとき、

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\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell + 1)!} x^{2\ell + 1} + \frac{\sin \left( \theta x + \frac{n\pi}{2} \right)}{n!} x^n \quad (0 < \theta < 1)

$$$$

である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ であるから、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +\infty$ のとき $t \to 0$ である。

したがって、

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\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log \left( \frac{1-t}{1+t} \right) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t}

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ここで、$\log(1+x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開は $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ であるから、

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\log(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \dots

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\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots

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よって、

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\log(1-t) - \log(1+t) = -2t - \frac{2t^3}{3} - \frac{2t^5}{5} - \dots

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したがって、

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\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \frac{2t^5}{5} - \dots}{t} = \lim_{t \to 0} \left( -2 - \frac{2t^2}{3} - \frac{2t^4}{5} - \dots \right) = -2

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(2) $\sin \frac{1}{3}$ の計算

与えられた式は、$\sin x$ のテイラー展開の剰余項付きの式である。

$n = 3$ とすると、$\frac{n-3}{2} = 0$ であるから、

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\sin x = \frac{(-1)^0}{(2 \cdot 0 + 1)!} x^{2 \cdot 0 + 1} + \frac{\sin \left( \theta x + \frac{3\pi}{2} \right)}{3!} x^3 = x + \frac{\sin \left( \theta x + \frac{3\pi}{2} \right)}{6} x^3 = x - \frac{\cos(\theta x)}{6} x^3

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ここで $x = \frac{1}{3}$ とすると、

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\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{3} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{6 \cdot 27} = \frac{1}{3} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{162}

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$n = 5$ とすると、$\frac{n-3}{2} = 1$ であるから、

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\sin x = \sum_{\ell=0}^{1} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell + 1)!} x^{2\ell + 1} + \frac{\sin \left( \theta x + \frac{5\pi}{2} \right)}{5!} x^5 = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{5!} x^5

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$x = \frac{1}{3}$ を代入すると、

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\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^3 + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2})}{120} \left( \frac{1}{3} \right)^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6 \cdot 27} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{\pi}{2})}{120 \cdot 243}

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= \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160} = 0.3333 - 0.00617 + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160}

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$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{162} = 0.32716 \approx 0.3272$

$n = 1$ とすると、$\frac{n-3}{2} = -1$となり、和は0となる。

$$\sin x = \frac{ \sin(\theta x + \frac{\pi}{2})}{1!} x$$

$x = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$$\sin \frac{1}{3} = \sin(\frac{\theta}{3} + \frac{\pi}{2}) \frac{1}{3} = \cos(\frac{\theta}{3}) \frac{1}{3}$$

$n = 3$とすると、$\frac{n-3}{2} = 0$となる。

$$\sin x = x + \frac{ \sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{3!} x^3$$

$x = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{ \sin(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2})}{6} (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{3} - \frac{ \cos(\frac{\theta}{3})}{6 \times 27} = \frac{1}{3} - \frac{ \cos(\frac{\theta}{3})}{162}$$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$