2つの関数 $y = -x^2 + 3x + 2$ と $y = x - 1$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの関数 $y = -x^2 + 3x + 2$ と $y = x - 1$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの関数の交点の $x$ 座標を求めます。

2つの関数を連立させて、

$-x^2 + 3x + 2 = x - 1$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

よって、$x = 3, -1$ が交点の $x$ 座標です。

次に、積分範囲を決定します。$x = -1$ から $x = 3$ までです。

この区間でどちらの関数が大きいか確認します。

例えば、$x=0$ のとき、$y = -x^2 + 3x + 2 = 2$、$y = x - 1 = -1$ であるため、$-x^2 + 3x + 2$ の方が大きいです。

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-1}^3 ((-x^2 + 3x + 2) - (x - 1)) dx$

$S = \int_{-1}^3 (-x^2 + 2x + 3) dx$

$S = [-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x]_{-1}^3$

$S = (-\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + 3(3)) - (-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1))$

$S = (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3)$

$S = 9 - (\frac{1}{3} - 2)$

$S = 9 - (-\frac{5}{3})$

$S = 9 + \frac{5}{3}$

$S = \frac{27}{3} + \frac{5}{3}$

$S = \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{3}$