2つの関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5$ と $y = x + 1$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5$ と $y = x + 1$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの関数の交点を求めます。

$-\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5 = x + 1$ を解きます。

両辺に2をかけて整理すると

$-x^2 + 4x + 10 = 2x + 2$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x - 4)(x + 2) = 0$

したがって、交点のx座標は $x = 4$ と $x = -2$ です。

次に、囲まれた部分の面積を求めます。面積 $S$ は、積分を使って次のように計算できます。

$S = \int_{-2}^{4} \left[ (-\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5) - (x + 1) \right] dx$

$S = \int_{-2}^{4} (-\frac{1}{2}x^2 + x + 4) dx$

積分を実行します。

$S = \left[ -\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 4x \right]_{-2}^{4}$

$S = \left( -\frac{1}{6}(4)^3 + \frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) \right) - \left( -\frac{1}{6}(-2)^3 + \frac{1}{2}(-2)^2 + 4(-2) \right)$

$S = \left( -\frac{64}{6} + 8 + 16 \right) - \left( \frac{8}{6} + 2 - 8 \right)$

$S = \left( -\frac{32}{3} + 24 \right) - \left( \frac{4}{3} - 6 \right)$

$S = -\frac{32}{3} + 24 - \frac{4}{3} + 6$

$S = 30 - \frac{36}{3}$

$S = 30 - 12$

$S = 18$

3. 最終的な答え

18