$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5$ と $y = x + 1$ で囲まれた領域の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5$ と $y = x + 1$ で囲まれた領域の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つのグラフの交点を求めます。

$-\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5 = x + 1$

$-\frac{1}{2}x^2 + x + 4 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x - 4)(x + 2) = 0$

したがって、$x = 4, -2$ が交点の $x$ 座標です。

次に、積分を計算します。

積分範囲は $-2$ から $4$ です。

積分する関数は、上のグラフから下のグラフを引いたものです。

$\int_{-2}^{4} (-\frac{1}{2}x^2 + 2x + 5 - (x + 1)) dx$

$= \int_{-2}^{4} (-\frac{1}{2}x^2 + x + 4) dx$

$= [-\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 4x]_{-2}^{4}$

$= (-\frac{1}{6}(4)^3 + \frac{1}{2}(4)^2 + 4(4)) - (-\frac{1}{6}(-2)^3 + \frac{1}{2}(-2)^2 + 4(-2))$

$= (-\frac{64}{6} + 8 + 16) - (\frac{8}{6} + 2 - 8)$

$= (-\frac{32}{3} + 24) - (\frac{4}{3} - 6)$

$= -\frac{32}{3} + 24 - \frac{4}{3} + 6$

$= -\frac{36}{3} + 30$

$= -12 + 30$

$= 18$

3. 最終的な答え

18