(1) 極限 $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を求める。 (2) $n$ が奇数のとき、与えられた $\sin x$ の式を用いて $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める。

1. 問題の内容

(1) 極限 $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を求める。

(2) $n$ が奇数のとき、与えられた $\sin x$ の式を用いて $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算

$\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}\right)$

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +\infty$ のとき $t \to 0$。

よって、

$\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log\left(\frac{1-t}{1+t}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t}$

ここで、$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ であることを用いると、

$\log(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \dots$

$\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots$

よって、

$\log(1-t) - \log(1+t) = -2t - \frac{2t^3}{3} - \dots$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \dots}{t} = \lim_{t \to 0} \left(-2 - \frac{2t^2}{3} - \dots\right) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3}$ の計算

$x = \frac{1}{3}$ とすると、

$\sin \frac{1}{3} = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} \left(\frac{1}{3}\right)^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!} \left(\frac{1}{3}\right)^n$

$n$ が奇数なので、$\sin \left(\frac{\theta}{3} + \frac{n\pi}{2}\right)$ は $-1$ から $1$ の間の値をとる。

$n=3$ のとき、$\frac{n-3}{2} = 0$ なので、

$\sin \frac{1}{3} = \frac{(-1)^0}{(2(0)+1)!} \left(\frac{1}{3}\right)^{2(0)+1} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{3!} \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{6} \cdot \frac{1}{27}$

$= \frac{1}{3} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{162}$

$0 < \theta < 1$ なので、$\left| \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{162} \right| \leq \frac{1}{162} \approx 0.00617$

$n=5$ のとき、$\frac{n-3}{2} = 1$ なので、

$\sin \frac{1}{3} = \sum_{\ell=0}^{1} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} \left(\frac{1}{3}\right)^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{5!} \left(\frac{1}{3}\right)^5$

$= \frac{1}{3} - \frac{1}{3!} \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{5!} \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{27} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{120} \cdot \frac{1}{243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{29160}$

$\frac{1}{3} - \frac{1}{162} = \frac{54 - 1}{162} = \frac{53}{162} \approx 0.32716$

$\left|\frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{29160}\right| \leq \frac{1}{29160} \approx 0.00003$

$n=7$ のとき、

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{27} + \frac{1}{120} \cdot \frac{1}{243} + \cdots$

したがって、小数第4位まで求めるので、$n=5$ で十分と考えられる。

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$