## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

この問題は2つの部分から構成されています。

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ の極限値を求める。

(2) $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ ($0 < \theta < 1$) で与えられている。この式を用いて $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める。

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2. 解き方の手順

### (1) の解き方

1. $\frac{x-1}{x+1}$ を $1 + \frac{-2}{x+1}$ と変形する。

2. $y = \frac{1}{x}$ と置換すると、$x \to +\infty$ のとき $y \to 0$。よって、$\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1}) = \lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \log(\frac{1-y}{1+y})$ となる。

3. $\log(\frac{1-y}{1+y}) = \log(1-y) - \log(1+y)$ と変形する。

4. $\log(1+x)$ のマクローリン展開 $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ を用いると、

$\log(1-y) = -y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} - \dots$

$\log(1+y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} - \dots$

5. $\log(1-y) - \log(1+y) = -2y - \frac{2y^3}{3} - \dots$

6. $\lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \log(\frac{1-y}{1+y}) = \lim_{y \to 0} \frac{-2y - \frac{2y^3}{3} - \dots}{y} = \lim_{y \to 0} (-2 - \frac{2y^2}{3} - \dots) = -2$

### (2) の解き方

1. $x = \frac{1}{3}$ を代入して、$\sin \frac{1}{3}$ を近似する。

2. 与えられた式は、$n$ が奇数の時の $\sin x$ の近似式を表している。

3. $\sin x$ のテイラー展開は $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$ である。

4. $n=3$ とすると、$\frac{n-3}{2} = 0$ なので、$\sin x = x + \frac{\sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{3!} x^3 = x - \frac{\cos(\theta x)}{6} x^3$ となる。

5. $n=5$ とすると、$\frac{n-3}{2} = 1$ なので、$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{5!} x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\sin(\theta x)}{120} x^5$ となる。

6. $n=7$ とすると、$\frac{n-3}{2} = 2$ なので、$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{\sin(\theta x + \frac{7\pi}{2})}{7!} x^7 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{\cos(\theta x)}{5040} x^7$ となる。

7. $x = \frac{1}{3}$ を代入して、それぞれの近似値を計算する。$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \dots$

$n=3$ のとき：$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3}$

$n=5$ のとき：$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{6 \cdot 27} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} \approx 0.32716$

$n=7$ のとき：$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{120 \cdot 243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160} \approx 0.32716 + 0.000034 = 0.32720$

8. $\sin \frac{1}{3}$ の正確な値は約 0.

3

2

7

1

9

4

6

9

6

7

9

6.

9. $n=5$ の場合で $\sin \frac{1}{3}$ を計算すると、誤差はおよそ $0.00003$ である。$\sin(x)$ の式において $n$ が増加すると、近似の精度が向上する。

$n=7$の時、

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{6 \cdot 3^3} + \frac{1}{120 \cdot 3^5} - \frac{1}{5040 \cdot 3^7} \approx 0.32719$

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3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1}) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$