$m$ と $n$ を正の整数とするとき、以下の2つの定積分の値を求めます。 (i) $\int_{0}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx$ (ii) $\int_{0}^{\pi} x \sin(mx) dx$

1. 問題の内容

$m$ と $n$ を正の整数とするとき、以下の2つの定積分の値を求めます。

(i) $\int_{0}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx$

(ii) $\int_{0}^{\pi} x \sin(mx) dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int_{0}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx$

積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos(A-B) - \cos(A+B))$ を用います。

$\sin(mx) \sin(nx) = \frac{1}{2} (\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x))$

よって、積分は

$\int_{0}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)) dx$

場合分けをします。

(a) $m = n$ のとき

$\int_{0}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2mx)) dx = \frac{1}{2} [x - \frac{1}{2m} \sin(2mx)]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} (\pi - 0) = \frac{\pi}{2}$

(b) $m \neq n$ のとき

$\int_{0}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx = \frac{1}{2} [\frac{1}{m-n} \sin((m-n)x) - \frac{1}{m+n} \sin((m+n)x)]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0$

(ii) $\int_{0}^{\pi} x \sin(mx) dx$

部分積分を用います。$u = x$, $dv = \sin(mx) dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{m} \cos(mx)$ となります。

$\int_{0}^{\pi} x \sin(mx) dx = [-\frac{x}{m} \cos(mx)]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} -\frac{1}{m} \cos(mx) dx = [-\frac{x}{m} \cos(mx)]_{0}^{\pi} + \frac{1}{m} \int_{0}^{\pi} \cos(mx) dx$

$= [-\frac{x}{m} \cos(mx)]_{0}^{\pi} + \frac{1}{m} [\frac{1}{m} \sin(mx)]_{0}^{\pi} = -\frac{\pi}{m} \cos(m\pi) + 0 + \frac{1}{m^2} (0 - 0) = -\frac{\pi}{m} (-1)^m = \frac{\pi}{m} (-1)^{m+1}$

3. 最終的な答え

(i)

$m = n$ のとき、$\frac{\pi}{2}$

$m \neq n$ のとき、0

(ii)

$\frac{\pi}{m} (-1)^{m+1}$