関数 $f(x) = \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x})$ について、 (1) 曲線 $y=f(x)$, $x$軸, $y$軸, 直線 $x=\log 2$ で囲まれた図形の面積を求める。 (2) 上記の図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める。 (3) 曲線 $y=f(x)$ の $0 \le x \le \log 2$ の部分の長さを求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x})$ について、

(1) 曲線 $y=f(x)$, $x$軸, $y$軸, 直線 $x=\log 2$ で囲まれた図形の面積を求める。

(2) 上記の図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める。

(3) 曲線 $y=f(x)$ の $0 \le x \le \log 2$ の部分の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 面積の計算

面積 $S$ は次のように計算できる。

$S = \int_0^{\log 2} f(x) dx = \int_0^{\log 2} \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x}) dx$

$= \frac{1}{6} \left[ \frac{1}{3} e^{3x} - \frac{1}{3} e^{-3x} \right]_0^{\log 2} = \frac{1}{18} \left[ e^{3x} - e^{-3x} \right]_0^{\log 2}$

$= \frac{1}{18} \left[ e^{3 \log 2} - e^{-3 \log 2} - (e^0 - e^0) \right] = \frac{1}{18} \left[ e^{\log 2^3} - e^{\log 2^{-3}} \right]$

$= \frac{1}{18} \left[ 2^3 - 2^{-3} \right] = \frac{1}{18} \left[ 8 - \frac{1}{8} \right] = \frac{1}{18} \left[ \frac{64 - 1}{8} \right] = \frac{63}{18 \cdot 8} = \frac{7}{16}$

(2) 体積の計算

体積 $V$ は次のように計算できる。

$V = \pi \int_0^{\log 2} (f(x))^2 dx = \pi \int_0^{\log 2} \left( \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x}) \right)^2 dx$

$= \frac{\pi}{36} \int_0^{\log 2} (e^{6x} + 2 + e^{-6x}) dx = \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6} e^{6x} + 2x - \frac{1}{6} e^{-6x} \right]_0^{\log 2}$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6} e^{6 \log 2} + 2 \log 2 - \frac{1}{6} e^{-6 \log 2} - (\frac{1}{6} - \frac{1}{6}) \right]$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6} (2^6) + 2 \log 2 - \frac{1}{6} (2^{-6}) \right] = \frac{\pi}{36} \left[ \frac{64}{6} + 2 \log 2 - \frac{1}{6 \cdot 64} \right]$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{64}{6} - \frac{1}{384} + 2 \log 2 \right] = \frac{\pi}{36} \left[ \frac{4096 - 1}{384} + 2 \log 2 \right] = \frac{\pi}{36} \left[ \frac{4095}{384} + 2 \log 2 \right]$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1365}{128} + 2 \log 2 \right] = \left( \frac{455}{1536} + \frac{\log 2}{18} \right) \pi$

(3) 曲線長の計算

曲線長 $L$ は次のように計算できる。

$L = \int_0^{\log 2} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

$f'(x) = \frac{1}{6}(3e^{3x} - 3e^{-3x}) = \frac{1}{2}(e^{3x} - e^{-3x})$

$(f'(x))^2 = \frac{1}{4}(e^{6x} - 2 + e^{-6x})$

$1 + (f'(x))^2 = 1 + \frac{1}{4}(e^{6x} - 2 + e^{-6x}) = \frac{1}{4}(e^{6x} + 2 + e^{-6x}) = \frac{1}{4}(e^{3x} + e^{-3x})^2$

$\sqrt{1 + (f'(x))^2} = \sqrt{\frac{1}{4}(e^{3x} + e^{-3x})^2} = \frac{1}{2}(e^{3x} + e^{-3x})$

$L = \int_0^{\log 2} \frac{1}{2}(e^{3x} + e^{-3x}) dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3}e^{3x} - \frac{1}{3}e^{-3x} \right]_0^{\log 2}$

$= \frac{1}{6} \left[ e^{3x} - e^{-3x} \right]_0^{\log 2} = \frac{1}{6} \left[ e^{3 \log 2} - e^{-3 \log 2} \right] = \frac{1}{6} \left[ 2^3 - 2^{-3} \right]$

$= \frac{1}{6} \left[ 8 - \frac{1}{8} \right] = \frac{1}{6} \left[ \frac{64 - 1}{8} \right] = \frac{63}{48} = \frac{21}{16}$

3. 最終的な答え

(1) 面積: $\frac{7}{16}$

(2) 体積: $\left( \frac{455}{1536} + \frac{\log 2}{18} \right) \pi$

(3) 曲線長: $\frac{21}{16}$