問題は2つあります。 (1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を求める。 (2) $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ ($0 < \theta < 1$) である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を求める。

(2) $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ ($0 < \theta < 1$) である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を求める。

まず、$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ と変形する。$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +\infty$ のとき、$t \to 0$ となる。したがって、

$\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log\left(\frac{1-t}{1+t}\right)$

$= \lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t}$

ここで、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{-1}{1-t} - \frac{1}{1+t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{-1}{1-t} - \frac{1}{1+t} = -1 - 1 = -2$

または、$\log(1+x)$ のマクローリン展開 $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ を用いると、

$\log(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \cdots$

$\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{(-t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \cdots) - (t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \cdots}{t} = \lim_{t \to 0} (-2 - \frac{2t^2}{3} - \cdots) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める。

$\sin x$ の展開式において $x = \frac{1}{3}$ とすると、

$\sin \frac{1}{3} = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} \left(\frac{1}{3}\right)^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta \frac{1}{3} + \frac{n\pi}{2})}{n!} \left(\frac{1}{3}\right)^n$

$n=3$とすると、

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2})}{3!} \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2})}{6 \times 27} = \frac{1}{3} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2})}{162}$

$n=5$とすると、

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3!}(\frac{1}{3})^3 + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2})}{5!} (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6 \times 27} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2})}{120 \times 243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2})}{29160}$

$\frac{1}{3} \approx 0.3333$

$\frac{1}{162} \approx 0.0062$

$0.3333 - 0.0062 = 0.3271$

$n=7$とすると、

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3!} \left( \frac{1}{3} \right)^3 + \frac{1}{5!} \left( \frac{1}{3} \right)^5 + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{7\pi}{2})}{7!} \left( \frac{1}{3} \right)^7 = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{7\pi}{2})}{5109120}$

$\frac{1}{29160} \approx 0.000034$

$0.3271 + 0.000034 = 0.327134$

$\sin(1/3) \approx 0.3272$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$